§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义3 如果随机变量X只取有限个或可列无限多个不同可能值，则称X为离散型随机变量.
例如，在本章第1节例1中的随机变量只可能取0，1，2三个值，它是一个离散型随机变量；例2中的随机变量，它可能取到的值为0，1，2，3，…，可以一一列举出来，因此也是一个离散型随机变量；例4中的随机变量，它所可能取的值充满区间［0，T］，是无法按一定次序一一列举出来，所以它是一个非离散型随机变量.
为了掌握离散型随机变量X的统计规律，必须知道X可能的取值，以及取各个可能值的概率.
定义4 设离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，X取可能值xi的概率为pi，即
则称（2.3）式为离散型随机变量X的分布律或分布列.分布律也常用下述形式表示：
离散型随机变量的分布律具有如下性质：
这两个性质容易利用概率的性质来证明.因为事件的概率是非负的，所以pi=P（X=xi）≥0，即（1）成立.由于x1，x2，…，xi，…是X所取的全部可能值，因此
注意上式右端各事件两两互不相容，利用概率的可加性得
即
例5 设袋中有3个红球、2个绿球，连续不放回地从袋中取球，直到取得红球为止，设此时取出了X个绿球.试求：
（1）X的分布律；
（2）X的分布函数F（x）；
解 （1）X可能的取值为0，1，2，且
故X的分布律为
（2）当x＜0时，｛X≤x｝为不可能事件，所以
当0≤x＜1时，｛X≤x｝=｛X=0｝，故
当1≤x＜2时，｛X≤x｝=｛X=0｝∪｛X=1｝，而｛X=0｝与｛X=1｝是互不相容的两事件，由概率的有限可加性得
当x≥2时，｛X≤x｝为必然事件，所以
综合即得
F（x）的图形如图2-1所示，它是一条阶梯形曲线，在x=0，1，2处有跳跃点，跳跃值分别为0.6，0.3，0.1.
图2-1
一般地，设离散型随机变量X的分布律为
则X的分布函数为
即
其中和式是对所有满足xi≤x的i求和.分布函数F（x）在x=xi（i=1，2，…）处有跳跃，其跳跃值为pi=P（X=xi）.
下面介绍几种常见的离散型分布.
1.（0-1）分布
若随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是
其中0＜p＜1.则称X服从（0-1）分布.
考虑本章第1节例3引入的随机变量X，如果掷出正面的概率为p，即P（X=1）=p（0＜p＜1），则X服从（0-1）分布.显然X的分布函数为
2.二项分布
若随机变量X所有可能的取值为0，1，2，…，n，而取各值的概率为
其中0＜p＜1，p+q=1.则称X服从参数为n，p的二项分布，常用记号X～B（n，p）表示.n
在n重贝努里试验中，设每次试验事件A发生的概率为p，令X是n次试验中事件A发生的次数，则X为一离散型随机变量且X ～B（n，p）.
顺便指出，（0-1）分布可看作n=1时的二项分布.
例6 设有15台机床独立地各加工一件齿轮，若各机床加工的废品率都是0.4，试求加工出来的15件齿轮中恰有k件（k=0，1，…，15）废品的概率.
解 此例可看作n=15的贝努里试验问题.设X表示加工出来的15件齿轮中的废品个数，则X ～B（15，0.4）.故所求概率为
计算结果列于下表.
为了对所得的结果有个直观的了解，我们将表中的数据用图形来表示，如图2-2所示.
图2-2
证 记λn=npn，则
由于对任意固定的k有
所以
由泊松定理可以看出，当n充分大，p相对很小时，有以下的近似公式
从下表可以直观地看出（2.11）式的近似程度.
在实际计算中，当n≥50，p≤0.1时，就可以应用公式（2.11）.
例7 用步枪向某一目标进行射击，每次击中目标的概率为0.001.现射击6000次，试求至少有两弹击中目标的概率.
解 设X为击中目标的次数，则X ～B（6000，0.001）.所求的概率为
也可用泊松定理做近似计算.这时λ=np=6000×0.001=6.根据公式（2.11）
故P（X≥2）≈1-0.00248-0.01487=0.98265.可见近似程度很令人满意.
3.泊松分布
设随机变量X所有可能的取值为0，1，2，…，而取各值的概率为
其中λ ＞0是常数.则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X ～π（λ）.
容易看出，P（X=k）≥0，k=0，1，2，…，且有
故式（2.12）满足分布律的两个性质.
泊松分布的应用很广泛.例如，在一定时间间隔内某电话交换台收到用户的呼唤次数、一天内到某商店去的顾客数、一定时间内某放射性物质放射的质点数等，都服从泊松分布.
4.几何分布
设随机变量X所有可能的取值为1，2，3，…，而取各值的概率为
其中0＜p＜1，q=1-p.则称X服从几何分布，记为X ～G（p）.容易验证式（2.13）满足分布律的两个性质.
例8 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p（0＜p＜1），各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产的产品个数为X，试求X的分布律.
解 由题意X的取值为1，2，3，…，k，…，且
P（X=1）=P（开机后生产的第一件产品不合格）=p，
P（X=2）=P（开机后生产的第一件产品合格，但第二件产品不合格）=（1-p）p，
……
P（X=k）=P（开机后生产的前k-1件产品合格，但第k件不合格）=（1-p）k-1p，
……
显然，X服从几何分布.