* §3.4 条件分布
在第一章中，我们讨论了事件的条件概率，由条件概率很自然引出条件概率分布问题，为此引入
定义6 设（X，Y）是二维离散型随机变量，其分布律为P（X=xi，Y=yj）=pij，i，j=1，2，…；（X，Y）关于X与Y的边缘分布律分别为P（X=xi）=pi·，i=1，2，…；P（Y=yj）=p·j，j=1，2，….
对于固定的j，若P（Y=yj）＞0，则称
为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.
同样，对于固定的i，若P（X=xi）＞0，则称
为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.
容易验证，条件分布律具有分布律的特性：
（1）P（X=xi|Y=yj）≥0；
例10 设随机变量（X，Y）的分布律为
求P（X=2|Y=2）及P（Y=2|X=2）.
解 由（3.17）及（3.18）式得
现在来讨论二维连续型随机变量（X，Y）的条件分布，由于对任意x，y都有P（X=x）=0，P（Y=y）=0，因此就不能直接用条件概率公式来定义随机变量的条件分布.下面我们用极限的方法来处理.
定义7 设（X，Y）是二维连续型随机变量，若对于固定的y和Δy＞0，P（y＜Y≤y+Δy）＞0，且极限
存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数，记作P（X≤x|Y=y）或FX|Y（x|y）.
设（X，Y）的分布函数为F（x，y），概率密度为f（x，y），（X，Y）关于Y的边缘分布函数为FY（y），边缘概率密度为fY（y），且FY（y）＞0，则有
即
若记fX|Y（x|y）为在条件Y=y下X的条件概率密度，则由（3.19）式知
类似可以定义FY|X（y|x）和fY|X（y|x），并且当fX（x）＞0时，有
条件概率密度也具有概率密度的性质：
（1）fX|Y（x|y）≥0；
例11 设随机变量（X，Y）的概率密度为
求fX|Y（x|y）及fY|X（y|x）.
解 先求（X，Y）关于X及关于Y的边缘概率密度.
由（3.20）及（3.21）式得
