三、无穷小的比较

三、无穷小的比较

【主要内容】

1.无穷小的比较

如果，则称f（x）是x→x0时的无穷小；

如果，或，则称f（x）是x→∞（或x→-∞或x→+∞）时的无穷小.

以x→x₀的情形为例叙述两个无穷小的比较：

设α（x），β（x）（其中β（x）≠0）都是x→x₀时的无穷小.

如果，则称α（x）是比β（x）高阶的无穷小，记为α（x）=o（β（x））；

如果，则称α（x）是比β（x）低阶的无穷小；

如果，则称α（x）与β（x）是同阶无穷小，当β（x）=b（x-x₀）k（其中b，k是常数，且b≠0，k>0），称α（x）是k阶无穷小.特别当c=1时，称α（x）与β（x）是等价无穷小，记为α（x）～β（x）（x→x₀）.

2.常用等价无穷小

x→0时，以下的等价无穷小是常用的：

sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，

3.等价无穷小代替定理

设x→x₀时，无穷小α（x），α₁（x），β（x），β₁（x）满足α（x）～α₁（x），β（x）～β₁（x）.

如果存在或为无穷大，则

这里的x0若改为x0+，x0-，∞，+∞或-∞，上述结论仍成立.

【典型例题】

例1.3.1 （单项选择题）设当x→0时，（1-cosx）ln（1+x²）是比xsinxⁿ高阶的无穷小，xsinxⁿ是比e^x2-1高阶的无穷小，则正整数n为（）.

A.1B.2C.3D.4

精解 通过寻找x→0时（1-cosx）ln（1+x²），xsinxⁿ及e^x2-1的等价无穷小即可算得n的值.

因为当x→0时

所以，由题设知 4>n+1>2，即n=2，因此选项B是正确的.

例1.3.2 求极限

精解 由于x→0+时，

ex³_-1～x³，，

所以，

例1.3.3 求极限

精解 利用公式A^b=e^blnA得

（cosx）csc^2x=e^csc²xlncosx，

然后计算即可.

由于，

所以，尢

注 应记住公式A^b=e^blnA，它可将幂函数转换成指数函数.

例1.3.4 求极限

精解

其中，，（利用无穷小的性质：设x→x₀时，α（x）是无穷小，β（x）在点x₀的某个

去心邻域内有界，则

将它们代入式（1）得

例1.3.5 设

精解 由题设（1）

得，即，并且

于是由式（1）得

因此，