练习题六解答

2025年09月26日

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练习题六解答

1.单项选择题

（1）D （2）C （3）A （4）D （5）D （6）B

（7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B

（13）D （14）D （15）D （16）D （17）B （18）C

（19）A （20）D （21）B （22）B （23）C （24）C

（25）C （26）C （27）A

2.解答题

（1）所给方程组的系数矩阵所

以，r（A）=2，容易检验，α₁，α₂，α₃，α₄都是所给方程组的解向量，因此由α₁，α₂，α₃线性无关知其为一个基础解系；由α₁，α₂，α₄线性相关知其不为一个基础解系.

（2）系数行列式得a=0或b=-1，1，仅在此时，方程组有可能有无穷多解.

当a=0时，增广矩阵

由此可知此时仅当b=5时，所给方程组有无穷多解，通解为，其中，c为任意常数.

当b=1时，，所给方程组有无穷多解，通解为

（x₁，x₂，x₃）T=c1（1，-a，0）^T+（0，1，0）^T.

当b=-1时，，此时方程组无解.

（3）η₁-η₃=（η₁+η₂）-（η₂+η₃）=（1，3，2）^T，η₂^-η3=（η₁+η₂）-（η₁+η₃）=（0，2，4）^T都是Ax=0的解，且线性无关.于是由r（A）=1知η₁-η₃，η₂-η₃是Ax=0的一个基础解系，此外，是Ax=b的一个特解，从而Ax=b的通解为

（x₁，x₂，x₃）^T=c1（η₁-η₃）+c₂（η₂-η₃）+η₁=c₁（1，3，2）+，其中，c₁，c₂，c₃为任意常数.

（4）（ⅰ）设有数k₁，k₂使得

k₁η₁+k₂（η₁-η₂）=0，即（k₁+k₂）η₁-k₂η₂=0上式两边左乘A得k₁b=0.由b≠0得k₁=0.于是由k₂（η₁-η₂）=0得k₂=0（因为η₁-η₂≠0）.从而η₁与η₁-η₂线性无关.

（ⅱ）由于ξ，η₁-η₂都是Ax=0的解，所以由r（A）=n-1知ξ，η₁-η₂线性相关，即存在不全为零的数λ₁，λ₂，使得

λ₁ξ+λ₂（η₁-η₂）=0，即λ₁ξ+λ₂η₁+（-λ₂）η₂=0.

由此知，ξ，η₁，η₂线性相关.

（5）由α₁，α₂是A∗x=0的两个解，且α₁，α₂线性无关，所以r（A∗）≤3-2=1.由A知r（A∗）≥1，因此r（A∗）=1，由此得到r（A）=2.于是由

知a=-2，b≠3，或a≠-2，b=3.

（6）由r（A）=4-2=2及知t=1.所以，

从而Ax=0与同解，其基础解系为（1，-1，1，0）^T和（0，-1，0，

1）^T.所以通解为（x₁，x₂，x₃，x₄）^T=c₁（1，-1，1，0）T+c₂（0，-1，0，1）^T.

（7）（ⅰ）由于所给方程组有3个线性无关的解，所以其导出组Ax=0（x=（x₁，x₂，x₃，x₄）^T）的基础解系至少由两个解向量组成，从而r（A）≤4-2=2.另外，由A知r（A）≥2，所以r（A）=2.

（ⅱ）由增广矩阵及r（A）=2知a=

2，b=-3.

于是

由此可得，导出组的基础解系为（-2，1，1，0）^T，（4，-5，0，1）^T，所给方程组有特解（2，-3，0，0）^T，所以通解为

（x₁，x₂，x3，x4）T=c1（-2，1，1，0）^T+c₂（4，-5，0，1）^T+（2，-3，0，0）^T

（8）（Ⅱ）的通解为（x₁，x₂，x₃，x₄）^T=c（-3，2，1，0）^T+（-2，5，0，-10）^T，即

x₁=-3c-2，x₂=2c+5，x₃=c，x₄=-10.

将它们代入（Ⅰ）得即

由于c是任意常数，所以，p=3，q=2，r=-2.

（9）设有数k₁，k₂，…，k_r，k使得

k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+kβ=0，（1）上式两边左乘β^T得k₁β^Tα₁+k₂β^Tα₂+…+k_rβ^Tα_r+kβ^Tβ=0.

由题设知α^T_iβ=0，即β^Tα_i=0（i=1，2，…，r）.因此由上式得kβ^Tβ=0.于是由β≠0得k=0，将它代入式（1）得k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r=0.于是由α₁，α₂，…，α_r线性无关得k₁=k₂=…=k_r=0，因此α₁，α₂，…，α_r，β线性无关.

（10）记系数矩阵为A，则A=0，即

由此得到a=0，

当a=0时，r（A）=1，此时所给方程组通解为

（x₁，x₂，…，x_n）^T=c1（-1，1，0，…，0）^T+c₂（-1，0，1，…，0）^T+…+

c_n-1（^-1，0，0，…，1）^T.

当时，r（A）=n-1，此时所给方程组通解为（x₁，x₂，…，x_n）^T=c（1，2，…，n）^T.

（11）由于方程组（Ⅰ）的增广矩阵

所以方程组（Ⅰ）与方程组

，

同解，即与（Ⅱ）同解.

（12）方程组（Ⅰ）的通解为

（x₁，x₂，x₃，x₄）^T=c1（1，0，1，1）^T+c₂（2，1，0，-1）^T+c₃（0，2，1，-1）^T

=（c₁+2c₂，c₂+2c₃，c₁+c₃，c₁-c2-c3）^T.

将它代入方程组（Ⅱ）得

即 3c₁+2c₂+2c₃=0，即

因此公共解为

（13）由0·E₃-A=-A=0，（-1）E₃-A=-A+E₃=0知A有特征值λ₁=0，λ₂=-1.此外还有特征值λ₃，它满足λ₁+λ₂+λ₃=trA=0，所以λ₃=1.

（14）设A的特征值为λ，则λ满足λ³+λ²+λ=3，它只有实根λ=1，即A只有特征值λ=1，因此存在正交矩阵Q，使得，故A=QE₄Q^-1=E_4.

（15）由AA^T=2E₄得A²=16，所以A=-4，对λ有，

于是，当时，上式成为.由此得到

A=0，所以，，是A的两个特征值，从而，是A∗的两个

特征值.

（16）由λE₃-A=（λ-1）2（λ-3）知A的特征值为λ=3，1（二重）.由于（1·E3-

A）的秩为1=3（A的阶数）-2（λ=1的重数），所以，从而A¹⁰⁰能相似对角

化为

（17）设A^-1的特征向量α对应的特征值为λ₀，则α是A的对应特征值的特征向量，

于是有，即，由此得k=-2，m=2或k=1，m=2.

（18）由题设知，且（2E₃-A）α=0，即解此方程

组得a=2，b=2，c=-2，所以

（19）由α₁，α₂是Ax=0的两个解知，A有特征值λ=0，α₁，α₂是它对应的两个线性无关的特征向量.此外，由A的各行元素之和都为3知A有特征值3，它对应的特征向量为β=（1，1，1）T.于是A的全部特征值为0，3，对应的特征向量为c₁α₁+c₂α₂（c₁，c₂是任意不全为零的常数），cβ（c是非零任意常数）.

（20）由题设得A∗x=λ₀x，即λ₀Ax=Ax，将x=（-1，-1，1）T和A=-1代

入上式得即λ₀=1，a=c，b=-3.于是由-1=A=a-3得

a=c=2.

（21）分两种情形证明AB的特征值必是BA的特征值：

（ⅰ）设λ是AB的非零特征值，其对应的特征向量为α，则

A（Bα）=λα，即（BA）（Bα）=λ（Bα）.由于Bα≠0，所以λ是BA的特征值.

（ⅱ）设λ=0是AB的特征值，其对应的特征向量α，即（AB）α=0，则齐次线性方程组（AB）x=0有非零解.于是BA=AB=0，由此得到齐次线性方程组（BA）x=0有非零解，于是λ=0也是BA的特征值.

同理可证BA的特征值也是AB的特征值，因此AB有相同特征值.

（22）设r（A）=r，r（B）=s，则r<n，s<n，所以齐次线性方程组Ax=0与Bx=0分别有基础解系α₁，α₂，…，α_n-r和β₁，β₂，…，β_n-s.由于r+s<n，所以α₁，α₂，…，α_n-r，β₁，β₂，…，β_n-1线性相关，因此存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_n-r和λ₁，λ₂，…，λ_n-s，使得