练习题一

练习题一

1.单项选择题

（1）设数列{x_n}，{y_n}，{z_n}满足y_n≤x_n≤z_n（n=1，2，…），并且_nl→im∞（z_n-y_n）=0，

则limx_n（）.

n→∞

A.存在且等于零 B.存在但不一定为零

C.一定不存在 D.不一定存在

（2）x→0时的三个无穷小，β及

γ=1-cos（arcsinx）按阶数由低到高排列为（）.

A.α，β，γ B.β，α，γ C.γ，α，β D.β，γ，α

（3）设函数，则f（x）（ ）.

A.不存在间断点 B.存在间断点x=1

C.存在间断点x=0 D.存在间断点x=-1

（4）已知极限，则a，b的值分别为（ ）.

A.a=1，b=2 B.a=2，b=1

C.a=1，b任意 D.a=2，b任意

（5）设函数则f（x）在内连续时，n为（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

（6）设函数f（x）在点x=0处连续，则下列命题错误的是（）.

A.若存在，则f（0）=0B.若存在，则f（0）=0

C.若存在，则f′（0）=0D.若lim

x存在，则f′（0）=0

（7）设函数f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|）.如果F（x）在点x=0处可导，则必有（ ）.

A.f（0）=0 B.f′（0）=0

C.f（0）+f′（0）=0 D.f（0）-f′（0）=0

（8）函数y=（x²-x）|x³-x|的不可导点个数为（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

（9）设f（x）是不恒为零的奇函数，f′（0）存在，则函数

A.在点x=0处左极限不存在 B.有跳跃间断点

C.在点x=0处右极限不存在 D.有可去间断点

（10）设函数f（x）=|x³-1|φ（x），其中φ（x）在点x=1处连续，则φ（1）=0是f（x）在点x=1处可导的（ ）.

A.充分而非必要条件 B.必要而非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件

（11）设（x₀，y₀）是抛物线y=ax²+bx+c上的一点，若在该点处的切线通过原点，则a，b，c及x₀应满足的关系为（ ）.

A.a=cx²₀，b任意 B.c=ax²₀，b任意

C.b=cx²₀，a任意 D.c=bx²₀，a任意

（12）设函数y=f（x）具有二阶导数，且f′（x）>0，f″（x）>0，Δx为自变量x在点x₀处的增量，Δy与dy分别为f（x）在点x₀处的增量与微分，若Δx>0，则（ ）.

A.0<dy<Δy B.0<Δy<dy C.Δy<dy<0 D.dy<Δy<0

（13）设函数f（x）连续，且f′（0）>0，则存在δ>0，使得（ ）.

A.当x∈（0，δ）时，f（x）单调增加 B.当x∈（-δ，0）时，f（x）单调减少

C.当x∈（0，δ）时，f（x）>f（0） D.当x∈（-δ，0）时，f（x）>f（0）

（14）设函数f（x）的导数f′（x）在点x=a处连续，且，则（ ）.

A.x=a是f（x）的极小值点

B.x=a是f（x）的极大值点

C.（a，f（a））是曲线y=f（x）的拐点

D.x=a不是f（x）的极值点，（a，f（a））也不是曲线y=f（x）的拐点

（15）设函数f（x）在（-∞，+∞）上连续，其导函数的图形如图题1.1（15）所示，则f（x）有（ ）.

A.一个极小值点和两个极大值点

B.两个极小值点和一个极大值点

C.两个极小值点和两个极大值点

D.三个极小值点和一个极大值点

（16）设在[0，1]上，函数f（x）二阶可导，且f″（x）>0，则f′（0），f′（1），f（1）-f（0）或f（0）-f（1）的大小顺序是（ ）.

图 题1.1（15）

A.f′（1）>f′（0）>f（1）-f（0）

B.f′（1）>f（1）-f（0）>f′（0）

C.f（1）-f（0）>f′（0）>f′（1）

D.f′（1）>f（0）-f（1）>f′（0）

（17）设函数f（x）满足关系式f″（x）-2f′（x）+4f（x）=0，且f（x₀）>0，f′（x₀）=0，则f（x）（ ）.

A.在点x₀处有极大值 B.在点x₀处有极小值

C.在点x₀的某个邻域内单调增加 D.在点x₀的某个邻域内单调减少

（18）设方程有且仅有一个实根，则k的取值范围为（ ）.

A.B.

C.D.

（19）设曲线y=x³+3ax²+3bx+c在点x=-1处取得极值，且点（0，3）是拐点，则a，b，c为（ ）.

A.a=-1，b=0，c=3 B.a=0，b=-1，c=3

C.a=3，b=-1，c=0 D.a=0，b=3，c=-1

（20）设（x₀，f（x₀））是曲线y=f（x）的拐点，则（ ）.

A.x₀不是函数f（x）的极值点

B.f″（x）在点x₀的两侧邻近有不同的符号

C.f″（x₀）=0

D.曲线y=f（x）经过点（x₀，f（x₀））时，凹凸性发生变化

（21）设函数f（x）在（-∞，+∞）上连续，x₀≠0，f（x₀）≠0，且（x₀，f（x₀））是曲线y=f（x）的拐点，则（ ）.

A.f″（x₀）=0

B.（x₀，-f（x₀））是曲线y=-f（x）的拐点

C.（-x₀，f（-x₀））不是曲线y=f（-x）的拐点

D.（-x₀，-f（x₀））不是曲线y=-f（-x）的拐点

（22）曲线的渐近线的条数为（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

（23）曲线（ ）.

A.仅有水平渐近线 B.仅有铅直渐近线

C.既有水平渐近线又有铅直渐近线 D.既有铅直渐近线又有斜渐近线

2.解答题

（1）计算极限

（2）计算极限

（3）计算极限

（4）计算极限

（5）计算极限

（6）计算极限

（7）计算极限

（8）计算极限

（9）确定当x→0时，是x的几阶无穷小.

（10）设，求极限lim

n

（11）设函数f

，x≠0，

{x=0在点x=0处连续，求常数a的值.

（12）求能够使函数f

x≤0，

连续的常数a，b的值.，x>0

（13）求函数

，x≤0，

{x>0的间断点，并指明它们的类型.

（14）设函数y=x^sinx+2^tan²x，求y′.

（15）设函数y=xe^xsinx，求y（4）.

（16）已知函数f（x）在（-∞，+∞）上可导，且，

求常数c.

（17）设函数f（x）=xe^x，求f（n）（x）的极小值.

（18）设函数

，

{，求f′（x）的极小值.

（19）设x∈（0，1），证明：

（20）设常数k>0，求方程在（0，+∞）上的实根个数.

（21）设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）=0.证明：存在ξ∈（0，1），使得

ξf′（ξ）+2f（ξ）=0.

（22）设函数f（x）在[a，b]（a>0）上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=1.证明：存在ξ，η∈（a，b），使得