练习题六

练习题六

1.单项选择题

（1）设非齐次线性方程组Ax=b（其中，A是m×n矩阵），则下列结论中正确的是（ ）.

A.若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解

B.若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解

C.若Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解

D.若Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解

（2）记齐次线性方程组的系数矩阵为A，若存在三阶矩阵B≠O₃，使得AB=O₃，则（）.

A.λ=-2且B=0 B.λ=-2但B≠0

C.λ=1且B=0 D.λ=1但B≠0

（3）线性方程组有解时，λ的值为（ ）.

A.B.C.-1 D.1

（4）非齐次线性方程组Ax=b（其中，A是m×n矩阵）有解的必要条件是（）.

A.m>n B.m<n

C.m=n D.（其中，A=（A︙b））

（5）设n阶矩阵（其中，a≠0，b≠0），则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是（ ）.

A.a=b

B.a+b=0

C.n=2m时，a=b；n=2m+1时，a+b=0

D.n=2m时，a=b；n=2m+1时，a=b或a+b=0

（6）已知α₁，α₂，α₃是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以是（ ）.

A.B.α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α1

C.α₁-α₂，α₂-α₃，α₃-α1D.-2α₃-α₁，α₁+α₂+α₃，α₃-α2

（7）设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若，则线性方程组（ ）.

A.Ax=α必有无穷多解B.Ax=α必有唯一解

C.仅有零解D.必有非零解

（8）设n阶矩阵A的伴随矩阵A∗≠0.若ξ₁，ξ₂，ξ₃是非齐次线性方程组Ax=b的三个互不相等的解向量，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系（ ）.

A.不存在 B.仅含有一个非零解向量

C.含有两个线性无关的解向量 D.含有三个线性无关的解向量

（9）设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵，齐次线性方程组（Ⅰ）Ax=0和（Ⅱ）A^TAx=0，则（ ）.

A.（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解

B.（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解

C.（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解

D.（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解

（10）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B都是m×n矩阵，现有以下4个命题：

① 若Ax=0的解都是Bx=0的解，则r（A）≥r（B）

② 若r（A）≥r（B），则Ax=0的解都是Bx=0的解

③ 若Ax=0与Bx=0同解，则r（A）=r（B）

④ 若r（A）=r（B），则Ax=0与Bx=0同解则正确的是（）.

A.①② B.①③ C.②④ D.③④

（11）设三阶矩阵A的特征值为-1，1，2，则矩阵（3A∗）-1的特征值为（ ）.A.1，-1，-2 B.-6，6，-3 C.，，D.，，-1

（12）设A，B都是n阶矩阵，则以下命题中正确的是（ ）.

A.A的特征向量的任意线性组合仍是A的特征向量

B.设λ是可逆矩阵A的特征值，则A的对应λ的特征向量也是A^-1的对应_λ¹的特征向量

C.A与A^T有相同的特征向量

D.如果A～B，则A与B有相同的特征向量

（13）设A是三阶矩阵，α_i（i=1，2，3）都是3维列向量，如果Aα_i=iα_i（i=1，2，3），则下列结论中成立的是（ ）.

A.如果P=（α₁，2α₂，3α₃），则

B.如果P=（α₁，α₁+α₂，3α₃），则

C.如果P=（2α₁，-α₂，5α₃），则

D.如果P=（α₁，α₂，α₃），则

（14）设n阶矩阵A=（a_ij）的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则的值为（ ）.

A.B.C.D.

（15）n阶矩阵A与B相似的充分条件是（ ）.

A.A=B

B.r（A）=r（B）

C.A与B有相同的特征多项式

D.A与B的特征值都为λ₁，λ₂，…，λ_n，且这n个特征值是互异的

（16）设A是n阶非零矩阵，满足A^k=O_n（其中k为正整数），则下列命题中不正确的是（ ）.

A.A只有零特征值 B.A必不能相似对角化C.必可逆D.A只有一个线性无关的特征向量

（17）下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是（ ）.

A.B.C.D.

（18）设矩阵A相似于矩阵，则r（A-2E₄）+r（A-E₄）=（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

（19）设二次型f（x₁，x₂，x₃）=（x₁+x₂）2+（x₂+x₃）2+（x₃+x₁）2，则f的（ ）.

A.秩为3 B.矩阵为E₃

C.正惯性指数为2 D.以上都不对

（20）设A，B都是n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是（ ）.

A.r（A）=r（B）

B.A，B的全部特征值相同

C.A=B

D.分别以A，B为矩阵的二次型有相同的规范形

（21）设A是n阶矩阵，则以下四个命题中正确的是（ ）.

A.A必与某个对角矩阵合同

B.如果A与正定矩阵合同，则A为正定矩阵

C.如果A的顺序主子式都大于零，则A必为正定矩阵

D.如果A与对角矩阵相似，则A必与对角矩阵合同

（22）设n阶矩阵A=（a_ij）是正定矩阵，b₁，b₂，…，b_n是全不为零的实数，则n阶矩阵B=（b_ib_ja_ij）是（ ）.

A.对称而非正定矩阵 B.正定矩阵

C.可逆而非正定矩阵 D.不可逆矩阵

（23）当两个3元二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx与g（x₁，x₂，x₃）=x^TBx（其中，x=（x₁，x₂，x3）^T）的实对称矩阵A与B合同时，称它们是属于同一类的，则全体三元二次型可以分成（ ）.

A.3类 B.6类 C.10类 D.无穷多类

（24）设A是n阶正定矩阵，如果它与n阶矩阵B相似，则B必为（ ）.

A.实对称矩阵 B.正交矩阵 C.可逆矩阵 D.正定矩阵

（25）已知二次型f（x₁，x₂，x₃）的矩阵为，如果f的正惯性指数为3，则k=（ ）.

A.0B.-1C.D.1

（26）n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是（ ）.

A.A的所有k阶子式都大于零（k=1，2，…，n）

B.A的所有特征值都为非负的

C.A^-1为正定矩阵

D.r（A）=n

（27）设A，B都是n阶正定矩阵，则下列选项中是正定矩阵的是（ ）.

A.A∗+B∗ B.A∗-B∗

C.A∗B∗ D.k₁A∗+k₂B∗（k₁，k₂是常数）

2.解答题

（1）设有齐次线性方程组及向量α₁=（1，-2，1，0，

0）T，α₂=（1，-2，0，1，0）T，α₃=（5，-6，0，0，1）T，α₄=（1，-2，-1，2，0）T，问向量组α₁，α₂，α₃与向量组α₁，α₂，α₄是否为所给方程组的基础解系？

（2）问a，b为何值时，线性方程组有无穷多解，

并求其通解.

（3）设三元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为1，且η₁，η₂，η₃是它的三个解向量，它们满足

η₁+η₂=（1，2，3）^T，η₂+η₃=（0，-1，1）^T，η₃+η₁=（1，0，-1）^T.求该方程组的通解.

（4）设η₁，η₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解（其中，A是m×n矩阵），ξ是该方程组的导出组的一个非零解.

（ⅰ）判定向量组η₁，η₁-η₂的线性相关性；

（ⅱ）当r（A）=n-1时，判定ξ，η₁，η₂的线性相关性.

（5）设α₁=（1，0，1）^T，α₂=（0，1，1）^T是齐次线性方程组A∗x=0的两个解，其中，求a，b的值.

（6）设矩阵，且齐次线性方程组Ax=0的解空间的维数为2，求该方程组的通解.

（7）已知线性方程组

，

，有3个线性无关的解.（ⅰ）证明：该方程组的系数矩阵A的秩为2；（ⅱ）求a，b的值及该方程组的通解.（8）设线性方程组（Ⅰ）：，与（Ⅱ）同解，试确定（Ⅰ）中p，q，r的值.

（9）设α_i=（a_i1，a_i2，…，ain）T是n维实向量（i=1，2，…，r，r<n），且α₁，α₂，…，αr线性无关.已知β=（b₁，b₂，…，b_n）T是齐次线性方程组

的非零解.试判定向量α₁，α₂，…，α_r，β的线性相关性.

（10）设齐次线性方程组（n≥2），试问当a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

（11）判断方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的同解性.

（12）已知齐次线性方程组（Ⅰ）的基础解系为

α₁=（1，0，1，1）^T，α₂=（2，1，0，-1）^T，α₃=（0，2，1，-1）^T.求（Ⅰ）与齐次线性方程组.

（Ⅱ）

的所有公共解.

（13）设A是三阶矩阵，满足A=0，A+E₃=0，trA=0，求A的特征值.

（14）设A是满足A³+A²+A=3E_n的n阶实对称矩阵，求A.

（15）设四阶矩阵A满足AA^T=2E₄，且A<1，求A的伴随矩阵A∗的两个特征值.

（16）设三阶矩阵，问A¹⁰⁰是否能相似对角化？如果能相似对角化，写出这个对角矩阵.

（17）已知向量α=（1，k，1）^T是矩阵的逆矩阵A^-1的特征向量，求常

数k和m的值.

（18）已知三阶实对称矩阵A的一个特征值为2，其对应的特征向量为α=（1，2，-1）T，且A的主对角线上的元素全为零，求A.

（19）已知三阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，且α₁=（-1，2，-1）^T，α₂=（0，-1，1）T是齐次线性方程组Ax=0的两个解向量，求A的全部特征值和特征向量.

（20）设矩阵A，且A=-1，又设A∗有特征值λ₀，它对应的特

征向量为α=（-1，-1，1）^T，求a，b，c及λ₀的值.

（21）设A，B都为n阶矩阵，证明：AB与BA有相同的特征值.

（22）设A，B都为n阶矩阵，且r（A）+r（B）<n，证明：A，B有公共的特征向量.

（23）已知二次型f（x₁，x₂，x₃）=a（x²₁+x²₂+x²₃）+4x₁x₂+4x₁x₃+4x₂x₃经正交变换x=Py可化成标准形f=6y²₁，求常数a.

（24）设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx=ax²₁+2x²₂-2x²₃+2bx₁x₃（b>0），其中，实对称矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.

（ⅰ）求常数a，b的值；

（ⅱ）利用正交变换x=Qy将f化为标准形，并写出正交矩阵Q.

（25）求二次型f（x₁，x₂，x₃）=-4x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的秩与正惯性指数.

（26）用可逆线性变换x=Py将二次型f（x₁，x₂，x₃）=x²₁+2x²₂-2x²₃+4x₁x₃化为规范形，并求可逆矩阵P.

（27）设二次型f（a_i1x1+a_i2x2+…+a_inx_n）2，证明：f的秩为r（A），

其中，A=（a_ij）s×n.

（28）设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x²₁+x²₂+x²₃-4x₁x₂-4x₁x₃+2ax₂x₃，经正交变换x=Qy（其中，x=（x₁，x₂，x₃）^T，y=（y₁，y₂，y3）^T）化为标准形f=3y²₁+3y²₂+by²₃，求：

（ⅰ）常数a，b的值；

（ⅱ）正交矩阵Q；

（ⅲ）当x^Tx=2时，f（x₁，x₂，x₃）的最大值.

（29）求参数t的取值范围，使得f（x₁，x₂，x₃）=x²₁+4x²₂+4x²₃+2tx₁x₂-2x₁x₃+4x₂x₃为正定二次型.

（30）证明：二次型为正定二次型.