含定积分的不等式的证明
【主要内容】
含定积分的不等式的常见证明方法是导数方法，即将欲证不等式中所包含的定积分上限字母换成x（如果包含的定积分多于一个，则选择其中一个，将其上限字母换成x），同时将该不等式中与此相同的字母都换成x，得到一个函数不等式，然后用导数方法证明这个函数不等式成立，由此即证得欲证的不等式.
【典型例题】
例2.9.1 设函数f（x）在[0，+∞）上连续且单调增加.证明：满足0<a<b的任意实数a，b有
精解 在欲证不等式中包含三个定积分，选择
，将它的上限字母b改为x，并且
将该不等式中出现的字母b都改为x，由此得到函数不等式：
，
即
因此作辅助函数
显然，它在[0，+∞）上可导且
（利用f（x）在[0，x]上单调增加）.由此可知，F（x）在[0，+∞）上单调增加，于是有F（b）>F（a），即
从而证得，对0<a<b有
注 本题的积分字母有a，b两个，也可选择把a改x，但证明将会遇到困难.
例2.9.2 设函数f（x）在[a，b]上二阶可导且f″（x）>0.证明：
精解 将欲证不等式改为
，并将其中的积分上限字母b改为
x，得函数不等式：
，即
因此作辅助函数
由于F（x）在[a，b]上二阶可导且
是f（x）在
（上应用拉格朗日中值定理得到的中值点）(https://www.daowen.com)
是f′（x）在
（上应用拉格朗日中值定理得到的中值点），
即F（x）在[a，b]上单调增加，所以F（b）>F（a）=0，即
例2.9.3 设函数f（x），g（x）在[0，1]上连续可导，且f（0）=0，f′（x）≥0，g′（x）≥0.证明：对任意实数a∈[0，1]有
精解 将欲证不等式中的a改为x得函数不等式：
，即
故作辅助函数
，
则它在[0，1]上可导且
（由于g′（x）≥0，所以有g（x）-g（1）≤0，x∈[0，1]）
即F（x）在[0，1]上单调不增.所以，对a∈[0，1]有
=f（1）g（1）-f（0）g（0）-f（1）g（1）=-f（0）g（0）=0，即
例2.9.4 设函数f（x）在[0，1]上连续可导，且当a∈（0，1）时，0<f′（x）<1以及f（0）=0.证明：对于a∈[0，1]有
精解 将欲证不等式中的a改为x，得函数不等式：
，即
因此，作辅助函数
，
则它在[0，1]上连续，在（0，1）内可导且
为了判定
在（0，1）内的符号，记
，
则它在[0，1]上连续，在（0，1）内可导且
F′1（x）=2f（x）-2f（x）f′（x）=2[1-f′（x）]f（x）>0（由题设f′（x）<1知1-f′（x）>0及f（x）>f（0）=0，所以[1-f′（x）]f（x）>0）.
所以，对x∈（0，1），F1（x）>F1（0）=0，即
将它代入式（1）得
F′（x）>0（x∈（0，1）），从而对x∈（0，1）有F（x）>F（0）=0，即
，
故欲证不等式成立.