正项级数的比较判别法

十 、正项级数的比较判别法

【主要内容】

1.比较判别法设是正项级数，并可以找到正项级数

如果u_n≤v_n（n=1，2，…），且收敛，则收敛.

如果u_n≥v_n（n=1，2，…），且发散，则发散.

2.比较判别法的极限形式

设是正项级数，并可以找到正项级数，且；

如果0<l<+∞，则与有相同的收敛性；

如果l=0，则由收敛可得收敛；

如果l=+∞，则由发散可得发散.

【典型例题】

例4.10.1（单项选择题） 设是正项级数，则下列结论正确的是（ ）.

A.若，则收敛

B.若存在非零常数λ，使得，则发散

C.若收敛，则

D.若发散，则存在非零常数λ，使得

精解 顺序考虑各个选项，直到得到正确选项为止.

先考虑选项A.对正项级数，虽然，但发散

（详见本节例4.10.4），所以选项A不能选.

再考虑选项B.由于（正数），

而发散，所以由比值判别法的极限形式知发散，即选项B正确.

因此本题选B.

例4.10.2 讨论正项级数的收敛性.

精解 用比较判别法讨论所给级数的收敛性.

记，则，

因此，当α>0时，由正项级数收敛知所给级数收敛；当-1<α≤0时，由

正项级数发散知所给级数发散.

例4.10.3 判别级数的收敛性.

精解 由ln（1+x）<x（x>0）知所给级数是正项级数.下面用比较判别法的极限形式考虑它的收敛性.为此计算极限

将上式中的看做x，则由

得，而收敛，所以也收敛.

例4.10.4 证明：正项级数发散.

精解 记，将它适当缩小，寻找一个发散的正项级数：

对lnlnx在[n，n+1]（n=2，3，…）上应用拉格朗日中值定理得

lnln（n+1）-lnlnn=（lnlnx）′_x=ξ_n（ξ_n∈（n，n+1）），

即有，并且，

即发散，所以由比较判别法知发散.