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练习题四

2026年01月14日

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练习题四

1.单项选择题

（1）设一阶非齐次线性微分方程y′+p（x）y=q（x）的两个不同特解为y₁（x），y₂（x），C为任意常数，则该微分方程的通解为（）.

A.C[y₁（x）-y₂（x）] B.y₁（x）+C[y₁（x）-y₂（x）]

C.C[y₁（x）+y₂（x）] D.y₁（x）+C[y₁（x）+y₂（x）]

（2）已知自变量x与函数y=y（x）在任意点x处的增量分别为Δx与，且y（0）=π，则y（1）=（）.

A.2π B.π C.eπ4 D.πeπ4

（3）设二阶常系数非齐次线性微分方程y″-2y′+2y=e^xsinx，则它应具有的特解形式为（）.

A.e^x·axsinx B.e^x·axcosx

C.e^x（acosx+bsinx） D.e^x·x（acosx+bsinx）

（4）设y₁（x），y₂（x），y₃（x）都是二阶线性微分方程

y″+P（x）y′+Q（x）y=f（x）

的特解，且不恒为常数，则该微分方程的通解为（）.

A.（1-C₁-C₂）y₁（x）+C₁y₂（x）+C₂y₃（x）

B.C₁y₁（x）+C₂y₂（x）+C₃y₃（x）

C.C₁y₁（x）+C₂y₂（x）+y₃（x）

D.C₁[y₂（x）-y₁（x）]+C₂[y₃（x）-y₁（x）]

（5）设y=y（x）是常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0的通解，且是以π为周

期的周期函数，则常数p，q的值为（）.

A.-4，-8 B.-4，8

C.4，-8 D.4，8

（6）设y₁=xe^x+e^2x，y₂=xe^x+e^-x是二阶常系线性微分方程y″+py′+qy=f（x）的两个特解，则p，q的值及该微分方程的通解为（）.

A.1，-2，C₁e^-x+C₂e^2x+xe^x

B.-1，-2，C1e-x+C2e2x+xex

C.1，-2，C₁y₁+C₂y₂

D.-1，-2，C1y1+C2y2

（7）已知曲线y=y（x）在原点处的切线垂直于直线x+2y=1，并且y（x）满足微分方程y″-2y′+5y=e^xcos2x，则y（x）=（）.

A.e^x（cos2x+sin2x-1） B.e^x（sin2x-cos2x+1）

C.2xe^xsin2x D.2xe^xcos2x

（8）具有特解y₁=e^-x，y₂=2xe^-x及y₃=3e^x的三阶常系数齐次线性微分方程为（）.

A.y‴-y″-y′+y=0 B.y‴+y″-y′-y=0

C.y‴-6y″+11y′-6y=0 D.y‴-2y″-y′+2y=0

（9）设函数y=y（x）满足，则y（x）=（）.

A.B.

C.D.

（10）设α为常数，则级数

A.绝对收敛 B.条件收敛

C.发散 D.收敛性与α的取值有关

（11）已知级数，，则级数

A.3 B.7 C.8 D.9

（12）下列命题中正确的是（）.

A.若级数都收敛，则级数收敛

B.若级数收敛，则级数都收敛

C.若正项级数发散，则（n=1，2，…）

D.若级数收敛，则级数收敛

（13）设级数收敛，则级数

A.对任何正数λ都发散 B.对任何正数λ都条件收敛

C.对任何正数λ都绝对收敛 D.收敛性与正数λ有关

（14）级数

A.对任何k值绝对收敛 B.对任何k值条件收敛

C.对任何k值发散 D.收敛性与k值有关

（15）设，则下列级数中绝对收敛的是（）.(https://www.daowen.com)

A.B.

C.D.

（16）下列命题正确的是（）.

A.若级数收敛，则级数条件收敛

B.若级数条件收敛，则级数发散

C.若级数收敛，则级数收敛

D.若，则级数收敛

（17）设a_n>0（n=1，2，…）.若级数发散，级数收敛，则下列结论正确的是（）.

A.级数收敛，而级数发散

B.级数收敛，而级数发散

C.级数收敛

D.级数收敛

（18）设u_n≠0（n=1，2，3，…），且，则级数

A.发散 B.绝对收敛

C.条件收敛 D.收敛性不能判断

（19）设幂级数的收敛半径分别为，，则幂级数的收敛半径为（）.

A.5B.C.D.

（20）幂级数的收敛域为（）.

A.[1，3] B.（1，3] C.[1，3） D.（1，3）

（21）如果幂级数在点x=-2处收敛，则此幂级数在点x=5处（）.

A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性不能确定

2.解答题

（1）求微分方程y′+ycosx=（lnx）e^-sinx的通解.

（2）求微分方程xy′+y-y²lnx=0的通解.

（3）求微分方程的通解.

（4）求微分方程2yy′+2xy²=e^-x2sinx的通解.

（5）求微分方程的通解.

（6）求微分方程（3x²+2）y″=6xy′的解，使它在x→0时与e^x-1是等价无穷小.

（7）设函数y（x）在（-∞，0]上连续，且满足

求y（x）.

（8）设函数y（x）在[0，+∞）上有连续导数，且满足，求y（x）.

（9）求微分方程y″+4y=x²+3sin2x+2cosx的通解.

（10）求微分方程y″+a²y=sinx的通解，其中，常数a>0.

（11）求极限

（12）设，求级数的和.

（13）判定级数的收敛性.

（14）判定下列级数的收敛性：

（ⅰ）

（ⅱ）

（15）求幂级数的收敛域.

（16）求幂级数的收敛域与和函数.

（17）求下列级数的和：

（ⅰ）

（ⅱ）

（18）将下列函数展开成关于x的幂级数：

（ⅰ）f（x）=ln（1-x-2x²）；

（ⅱ）

（19）将函数展开成关于x的幂级数.