首页> 图书频道> 理学> 数学物理化学

练习题四

2025年09月26日
版权
练习题四

1.单项选择题

（1）设一阶非齐次线性微分方程y′+p（x）y=q（x）的两个不同特解为y1（x），y2（x），C为任意常数，则该微分方程的通解为（ ）.

A.C[y1（x）-y2（x）] B.y1（x）+C[y1（x）-y2（x）]

C.C[y1（x）+y2（x）] D.y1（x）+C[y1（x）+y2（x）]

（2）已知自变量x与函数y=y（x）在任意点x处的增量分别为Δx与978-7-111-46245-3-Part01-2583.jpg978-7-111-46245-3-Part01-2584.jpg，且y（0）=π，则y（1）=（ ）.

A.2π B.π C.eπ4 D.πeπ4

（3）设二阶常系数非齐次线性微分方程y″-2y′+2y=exsinx，则它应具有的特解形式为（ ）.

A.ex·axsinx B.ex·axcosx

C.ex（acosx+bsinx） D.ex·x（acosx+bsinx）

（4）设y1（x），y2（x），y3（x）都是二阶线性微分方程

y″+P（x）y′+Q（x）y=f（x）

的特解，且978-7-111-46245-3-Part01-2585.jpg不恒为常数，则该微分方程的通解为（ ）.

A.（1-C1-C2）y1（x）+C1y2（x）+C2y3（x）

B.C1y1（x）+C2y2（x）+C3y3（x）

C.C1y1（x）+C2y2（x）+y3（x）

D.C1[y2（x）-y1（x）]+C2[y3（x）-y1（x）]

（5）设y=y（x）是常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0的通解，且978-7-111-46245-3-Part01-2586.jpg是以π为周

期的周期函数，则常数p，q的值为（ ）.

A.-4，-8 B.-4，8

C.4，-8 D.4，8

（6）设y1=xex+e2x，y2=xex+e-x是二阶常系线性微分方程y″+py′+qy=f（x）的两个特解，则p，q的值及该微分方程的通解为（ ）.

A.1，-2，C1e-x+C2e2x+xex

B.-1，-2，C1e-x+C2e2x+xex

C.1，-2，C1y1+C2y2

D.-1，-2，C1y1+C2y2

（7）已知曲线y=y（x）在原点处的切线垂直于直线x+2y=1，并且y（x）满足微分方程y″-2y′+5y=excos2x，则y（x）=（ ）.

A.ex（cos2x+sin2x-1） B.ex（sin2x-cos2x+1）

C.2xexsin2x D.2xexcos2x

（8）具有特解y1=e-x，y2=2xe-x及y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程为（）.

A.y‴-y″-y′+y=0 B.y‴+y″-y′-y=0

C.y‴-6y″+11y′-6y=0 D.y‴-2y″-y′+2y=0

（9）设函数y=y（x）满足978-7-111-46245-3-Part01-2587.jpg，则y（x）=（ ）.

A.978-7-111-46245-3-Part01-2588.jpgB.978-7-111-46245-3-Part01-2589.jpg

C.978-7-111-46245-3-Part01-2590.jpgD.978-7-111-46245-3-Part01-2591.jpg

（10）设α为常数，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2592.jpg

A.绝对收敛 B.条件收敛

C.发散 D.收敛性与α的取值有关

（11）已知级数978-7-111-46245-3-Part01-2593.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-2594.jpg，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2595.jpg

A.3 B.7 C.8 D.9

（12）下列命题中正确的是（ ）.

A.若级数978-7-111-46245-3-Part01-2596.jpg都收敛，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2597.jpg收敛

B.若级数978-7-111-46245-3-Part01-2598.jpg收敛，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2599.jpg都收敛

C.若正项级数发散，则978-7-111-46245-3-Part01-2600.jpg（n=1，2，…）

D.若级数978-7-111-46245-3-Part01-2601.jpg收敛，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2602.jpg收敛

（13）设级数978-7-111-46245-3-Part01-2603.jpg收敛，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2604.jpg

A.对任何正数λ都发散 B.对任何正数λ都条件收敛

C.对任何正数λ都绝对收敛 D.收敛性与正数λ有关

（14）级数978-7-111-46245-3-Part01-2605.jpg

A.对任何k值绝对收敛 B.对任何k值条件收敛

C.对任何k值发散 D.收敛性与k值有关

（15）设978-7-111-46245-3-Part01-2606.jpg，则下列级数中绝对收敛的是（ ）.

A.978-7-111-46245-3-Part01-2607.jpgB.978-7-111-46245-3-Part01-2608.jpg

C.978-7-111-46245-3-Part01-2609.jpgD.978-7-111-46245-3-Part01-2610.jpg

（16）下列命题正确的是（ ）.

A.若级数978-7-111-46245-3-Part01-2611.jpg收敛，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2612.jpg条件收敛

B.若级数978-7-111-46245-3-Part01-2613.jpg条件收敛，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2614.jpg发散

C.若级数978-7-111-46245-3-Part01-2615.jpg收敛，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2616.jpg收敛

D.若978-7-111-46245-3-Part01-2617.jpg，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2618.jpg收敛

（17）设an>0（n=1，2，…）.若级数978-7-111-46245-3-Part01-2619.jpg发散，级数978-7-111-46245-3-Part01-2620.jpg收敛，则下列结论正确的是（ ）.

A.级数978-7-111-46245-3-Part01-2621.jpg收敛，而级数978-7-111-46245-3-Part01-2622.jpg发散

B.级数978-7-111-46245-3-Part01-2623.jpg收敛，而级数978-7-111-46245-3-Part01-2624.jpg发散

C.级数978-7-111-46245-3-Part01-2625.jpg收敛

D.级数978-7-111-46245-3-Part01-2626.jpg收敛

（18）设un≠0（n=1，2，3，…），且978-7-111-46245-3-Part01-2627.jpg，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2628.jpg

A.发散 B.绝对收敛

C.条件收敛 D.收敛性不能判断

（19）设幂级数978-7-111-46245-3-Part01-2629.jpg的收敛半径分别为978-7-111-46245-3-Part01-2630.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-2631.jpg，则幂级数978-7-111-46245-3-Part01-2632.jpg的收敛半径为（ ）.

A.5B.978-7-111-46245-3-Part01-2633.jpgC.978-7-111-46245-3-Part01-2634.jpgD.978-7-111-46245-3-Part01-2635.jpg

（20）幂级数978-7-111-46245-3-Part01-2636.jpg的收敛域为（ ）.

A.[1，3] B.（1，3] C.[1，3） D.（1，3）

（21）如果幂级数978-7-111-46245-3-Part01-2637.jpg在点x=-2处收敛，则此幂级数在点x=5处（ ）.

A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性不能确定

2.解答题

（1）求微分方程y′+ycosx=（lnx）e-sinx的通解.

（2）求微分方程xy′+y-y2lnx=0的通解.

（3）求微分方程978-7-111-46245-3-Part01-2638.jpg的通解.

（4）求微分方程2yy′+2xy2=e-x2sinx的通解.

（5）求微分方程978-7-111-46245-3-Part01-2639.jpg的通解.

（6）求微分方程（3x2+2）y″=6xy′的解，使它在x→0时与ex-1是等价无穷小.

（7）设函数y（x）在（-∞，0]上连续，且满足

978-7-111-46245-3-Part01-2640.jpg

求y（x）.

（8）设函数y（x）在[0，+∞）上有连续导数，且满足978-7-111-46245-3-Part01-2641.jpg，求y（x）.

（9）求微分方程y″+4y=x2+3sin2x+2cosx的通解.

（10）求微分方程y″+a2y=sinx的通解，其中，常数a>0.

（11）求极限978-7-111-46245-3-Part01-2642.jpg

（12）设978-7-111-46245-3-Part01-2643.jpg，求级数978-7-111-46245-3-Part01-2644.jpg的和.

（13）判定级数978-7-111-46245-3-Part01-2645.jpg的收敛性.

（14）判定下列级数的收敛性：

（ⅰ）978-7-111-46245-3-Part01-2646.jpg

（ⅱ）978-7-111-46245-3-Part01-2647.jpg

（15）求幂级数978-7-111-46245-3-Part01-2648.jpg的收敛域.

（16）求幂级数978-7-111-46245-3-Part01-2649.jpg的收敛域与和函数.

（17）求下列级数的和：

（ⅰ）978-7-111-46245-3-Part01-2650.jpg

（ⅱ）978-7-111-46245-3-Part01-2651.jpg

（18）将下列函数展开成关于x的幂级数：

（ⅰ）f（x）=ln（1-x-2x2）；

（ⅱ）978-7-111-46245-3-Part01-2652.jpg

（19）将函数978-7-111-46245-3-Part01-2653.jpg展开成关于x的幂级数.