二维连续型随机变量的两类条件概率的计算

十二 、二维连续型随机变量的两类条件概率的计算

【主要内容】

设二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y），则两类条件概率P（a<Y≤b X≤c）（其中，P（X≤c）>0）和P（a<Y≤bX=c）（其中，边缘概率密度f_X（x）在点x=c处的值f_X（c）>0）可以分别按以下公式计算：

（1）；

（2）（其中，f_YX（yc）是在X=c的条件下，Y的

条件概率密度）.

【典型例题】

例7.12.1 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求条件概率

精解 f（x，y）仅在区域G={（x，y）0<x<1，0<y<2x}（如图7.12.1阴影部分所示）内取值为1，在xOy平面的其他部分都取值为零.

图 7.12.1

由于

其中，

为计算，需先算出（X，Y）的关于X的边缘概率密度f_X（x）：

所以

将它们代入式（1）得

例7.12.2 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求条件

概率P（X≤2Y=1）.

精解 f（x，y）在区域D={（x，y）0<y<x}（如图7.12.2阴影部分所示）上取值为e^-x，在平面xOy的其他部分取值都为零.

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图 7.12.2

由于，（1）

其中，，（2）

而，

将它们代入式（2）得

将它代入式（1）得

例7.12.3 设有随机变量X，Y，且在Y=y的条件下，X的条件概率密度为

而Y的概率密度为求：

（1）概率

（2）条件概率

精解 （1）由于，其中f_X（x）是关于X的边缘概率密度，因

此应先计算（X，Y）的概率密度f（x，y）.

由于，fY（y）>0，f_XY（x，y）>0，

其他，，，

即f（x，y）仅在区域D={（x，y）0<x<y<1}（如图7.12.3阴影部分所示）内取非零值15x²y，

图 7.12.3

所以，

因此

（2）由于，

其中，

所以，