十六、洛必达法则

十六 、洛必达法则

【主要内容】

1.型未定式极限的洛必达法则

设，则称型未定式极限，这里的x₀可以换成x₀^-，

x0+，∞，-∞及+∞.型未定式极限的洛必达法则（以x→x₀情形为例）是：

设函数f（x），g（x）在点x₀的某个去心邻域内可导，且g′（x）≠0.如果，且存在或为无穷大，则

注 （ⅰ）对型未定式极限在使用洛必达法则之前应尽量进行化简，如利用极

限运算法则算出其中非未定式部分的极限，对f（x）或g（x）作等价无穷小代替等.

（ⅱ）如果化简后仍是型未定式极限，记为，则可考虑应用洛必达

法则.但是当f₁（x）或g₁（x）不易求导，或表达式比较复杂时，可将f₁（x）或g₁（x）按（x-x₀）的幂展开成带佩亚诺型余项的泰勒公式，寻找f₁（x）或g₁（x）的在x→x₀时的等价无穷

小，然后用等价无穷小代替算出，即

2.型未定式极限的洛必达法则

设，则称为型未定式极限.这里的x→x₀可以换成x0-，x0+，∞，-∞及+∞.型未定式极限的洛必达法则（以x→x₀情形为例）是：

设函数f（x），g（x）在点x₀的某个去心邻域内可导，且g′（x）≠0.如果，且存在或为无穷大，则lim

x

注型未定式极限计算方法

（ⅰ）应用型洛必达法则计算；

（ⅱ）用初等代数运算或变量代换将型未定式极限转换成型未定式极限后再行计算.

3.其他未定式极限计算方法

其他未定式还有∞-∞，0·∞，0⁰，1∞，∞⁰等型（这里∞-∞表示：当，时的未定式极限，x0可以换成x0-，x0+，∞，-∞，+∞.

至于0·∞，0⁰，1∞，∞⁰型的未定式极限也可以同样理解）.∞-∞与0·∞型未定式极限，可以先通过初等代数运算或变量代换转换成型或型

未定式极限，然后计算.0⁰，1∞，∞⁰型未定式极限都是幂指函数的极限（这里以x→x₀为例），

由于

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，

所以，只要算出0·∞型未定式极限.如果它的值为A，则

【典型例题】

例1.16.1 求极限

精解 所给极限是型未定式极限.

例1.16.2 求极限

精解 所给极限是型未定式极限.

注 本题若用带佩亚诺型余项的麦克劳林公式算出e^xsinx-x（1+x）的等价无穷小，再利用等价无穷小代替定理计算更显快捷.

所以，

例1.16.3 求极限

精解 所给极限是∞-∞型未定式极限.（⁰₀型未定式极限）

例1.16.4 求极限

精解 所给极限是1∞型未定式极限.，（1）

其中，（0·∞型未定式极限）（⁰₀型未定式极限）

将它代入式（1）得

例1.16.5 求极限

精解 由于，所以所给的极限是0⁰型未定式极限.（1）

其中（∞∞型未定式极限）（⁰₀型未定式极限）

将它代入式（1）得