数列极限存在准则

七 、数列极限存在准则

【主要内容】

数列极限可以用数列极限运算法则计算，也可将其看做函数极限用函数极限的计算方法来计算.但当用这些方法不易计算时，还可用数列极限存在准则计算数列极限.

数列极限存在准则有以下两条：

准则Ⅰ 设数列{x_n}，{y_n}和{z_n}.如果y_n≤x_n≤z_n（n=1，2，…），且，则

注 （ⅰ）对数列{x_n}使用准则Ⅰ时，可通过适当缩小与放大x_n，寻找数列{y_n}和{z_n}.（ⅱ）对函数也有类似准则Ⅰ的极限存在准则：设函数f（x），g（x），h（x）.如果g（x）≤f（x）≤h（x）（在点x₀的某个去心邻域内）且，

设函数f（x），g（x），h（x）.如果g（x）≤f（x）≤h（x）（在|x|>N，N是某个正数），

且，则

准则Ⅱ 如果数列{x_n}单调不减（单调不增），且有上界（下界），则存在.

注 当数列{x_n}是用递推式定义时，通常用极限存在准则Ⅱ计算这一数列的极限.一般来说，准则Ⅱ只能确定数列极限的存在，但在某些情况下，在确定其极限存在后还能算出这个极限值.

【典型例题】

例1.7.1 求数列极限

精解 记，显然数列{x_n}的极限不能用数列极限的运算法则

计算，也不能转换成函数极限后用函数极限计算方法计算，因此考虑应用数列极限存在准则

Ⅰ计算.

由于，，

并且_nl→im∞1=n^l→im∞ⁿn=1，所以由数列极限存在准则Ⅰ得_nlim，即

注 应记住

例1.7.2 设，求极限

精解 用数列极限存在准则Ⅰ计算，因此对x_n作适当缩小与放大.

由得

所以，，即，(https://www.daowen.com)

且，所以由数列极限存在准则Ⅰ得

例1.7.3 设x₁=10，，求极限lim_n→∞x_n.

精解 由于{x_n}是由递推式定义的，所以用数列极限存在准则Ⅱ计算

x₁=10>3，x₂=4>3，，…依次类推可得x_n>3 （n=1，2，…），即

{x_n}有下界.

由于，所

以{x_n}单调减少.从而由数列极限存在准则Ⅱ知存在，记为A.

递推式两边令n→∞取极限得，

此方程仅有解A=3.所以

例1.7.4 设x₁>0，，求极限

精解 由于{x_n}是由递推式定义的，所以用数列极限存在准则Ⅱ计算

显然，x_n>0（n=1，2，…），并且，

所以，{x_n}既有下界又有上界.

下面考虑{x_n}的单调性.由于，

当时，，同理可证由

此可以推出，对n=1，2，…有，从而此时，{x_n}单调不减；

当时，，同理可证.由此可

以推出，对n=1，2，…有，从而此时，{x_n}单调减少.

由以上分析可知，{x_n}按和可为单调不减有上界的数列或单调减少有

下界的数列，因此由数列极限存在准则Ⅱ知存在，记为A.

递推式两边令n→∞取极限得， 即

由于x_n>0（n=1，2，…），所以A≥0，从而不合题意，舍去，由此得到