方程不同实根个数的判定
【主要内容】
1.设函数f（x）在[a，b]上连续，且f（a）f（b）<0，则方程f（x）=0在（a，b）内有实根.这一结论有各种推广形式，例如，
（1）设函数f（x）在（a，b）内连续，且
，则方程f（x）=0在（a，
b）内有实根.
（2）设函数f（x）在[a，+∞）上连续，且
，则方程f（x）=0在[a，
+∞）上有实根.
2.设f（x）是[a，b]上的连续单调函数，且f（a）f（b）<0，则方程f（x）=0在（a，b）内有唯一实根.这一结论也可表示为如下形式：
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导且f′（x）>0（或f′（x）<0），此外，f（a）f（b）<0，则方程f（x）=0在（a，b）内有唯一实根.
以上结论有各种推广形式，例如，
（1）设函数f（x）在（a，b）内可导且f′（x）>0（或f′（x）<0），此外，
，则方程f（x）在（a，b）内有唯一实根.
（2）设函数f（x）在（a，+∞）上可导且f′（x）>0（或f′（x）<0），此外，
，则方程f（x）在（a，+∞）上有唯一实根.
【典型例题】
例1.21.1 设函数f（x）在[a，b]上可导，且f′（x）<1.又设对任意x∈[a，b]，有a<f（x）<b，记
，证明：方程g（x）=x在（a，b）内有唯一实根.
精解 记
，则G（x）在[a，b]上可导且
（利用题设f′（x）<1）.
此外，
，所以方程G（x）=0，即g（x）=x在
（a，b）内有唯一实根.
例1.21.2 求方程
在（0，1）内的实根个数.
精解 记
，则f（x）在[0，1]上二阶可导且
f′（x）=（1+2x）e2x-2+sinx+x，
f″（x）=4（1+x）e2x+cosx+1>0，即f′（x）在（0，1）内单调增加，此外
f′（0）f′（1）=（-1）·（3e2-1+sin1）<0，所以，方程f′（x）=0在（0，1）内有唯一实根，记为x0，则有
x0将（0，1）分成两个子区间（0，x0）和（x0，1）.
当x∈（0，x0）时，f（x）<f（0）=-1<0，所以方程f（x）=0在（0，x0）内无实根.
当x∈（x0，1）时，由于f（x）是单调增加，且
，
所以，方程在（x0，1）内有唯一实根.
综上所述，方程在（0，1）内有唯一实根.
例1.21.3 讨论方程karctanx-x=0不同实根个数与参数k的关系.
精解 记f（x）=karctanx-x，显然不论k取何值，x=0都是方程f（x）=0的实根.
由于f（x）是奇函数，因此可从计算方程f（x）=0在（0，+∞）上的不同实根个数入手.
由于
，所以：
当k-1≤0，即k≤1时，f′（x）<0，即f（x）在（0，+∞）上单调减少，于是
f（x）<f（0）=0 （x∈（0，+∞）），
由此可知，此时方程f（x）=0在（0，+∞）上无实根.
当k-1>0，即k>1时，
于是，对
，f（x）>f（0）=0知，方程f（x）=0在
上无实根；对
，f′（x）<0，并且
，
，即
所以，此时方程f（x）=0在
上有唯一实根，记为x0.
综上所述，当k≤1时，方程f（x）=0仅有实根x=0；当k>1时，方程f（x）=0有三个不同的实根：x=x0，x=0及x=-x0.
例1.21.4 讨论参数a的取值范围与方程2x3-9x2+12x-a=0的不同实根个数之间的关系.
精解 记f（x）=2x3-9x2+12x-a，按f（x）的驻点将其定义域划分成若干个小区间，然后在每个小区间上（注意：在每个小区间上f（x）都是单调的）考虑方程f（x）=0有无实根与a取值的关系即可.
由f′（x）=6（x2-3x+2）=6（x-1）（x-2）知f（x）的驻点为x=1，2.据此列表如下.
由表可知，
当5-a>0且4-a<0，即4<a<5时，方程f（x）=0在（-∞，1），（1，2）及（2，+∞）上都有唯一实根，即此时方程f（x）=0有三个不同实根.
当5-a=0，即a=5时，方程f（x）=0在（2，+∞）上有唯一实根，此外有实根x=1，即此时方程f（x）=0有两个不同实根.
当4-a=0，即a=4时，方程f（x）=0在（-∞，1）上有唯一实根，此外有实根x=2，即此时方程f（x）=0有两个不同实根.
当5-a<0，即a>5时，方程f（x）=0仅在（2，+∞）上有唯一实根，即此时方程f（x）=0只有一个实根.
当4-a>0，即a<4时，方程f（x）=0仅在（-∞，1）上有唯一实根，即此时方程f（x）=0只有一个实根.