泰勒公式及其应用
【主要内容】
1.带拉格朗日型余项的泰勒公式
设函数f（x）在[a，b]上具有直到n阶的连续导数，在（a，b）内具有n+1阶导数，则对x0∈[a，b]，有
（x∈[a，b]）.（1）
其中，余项
，ξ是介于x0与x之间的实数）.
设函数f（x）在（a，b）上具有直到n+1阶导数，则对x0∈（a，b），有
其中，余项
，ξ是介于x0与x之间的实数）.
式（1）和式（2）称为f（x）按（x-x0）的幂展开的带拉格朗日型余项的n阶泰勒公式.当x0=0时，式（1）和式（2）称为f（x）的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.
（1）常用函数的带拉格朗日型余项的麦克劳林公式
，
，
，
，
其中，以上各式的ξ是介于0与x之间的实数.
（2）带拉格朗日型余项的泰勒公式常应用于证明：对于二阶或三阶可导的函数f（x），存在ξ，使得关于f″（ξ）=k（k为常数）或f‴（ξ）的表达式成立.
2.带佩亚诺型余项的泰勒公式
设函数f（x）在点x0的某个邻域内有直到n阶导数，则对这个邻域内的x，有
（3）
式（3）称为f（x）按（x-x0）的幂展开的带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.当x0=0时，式（3）称为f（x）的带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.
（1）常用函数的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式
，
，
，
，
（2）带佩亚诺型余项的泰勒公式常用于寻找比较复杂的函数在x→x0时的等价无穷小或计算函数在点x0处的高阶导数的情形.
【典型例题】
例1.15.1 计算下列各题：
（1）求函数f1（x）=exsinx的带拉格朗日型余项的四阶麦克劳林公式；
（2）求函数f2（x）=lnx的按（x-2）的幂展开的带拉格朗日型余项的四阶泰勒公式.
精解 分别计算f1（x）和f2（x）的直到五阶导函数，即可得到要求的公式.
（1）f1（x）=exsinx，
，
，
同理可得
，
，
所以，f1（x）的带拉格朗日型余项的四阶麦克劳林公式为
，ξ是介于0与x之间的实数）.
（2）由于f2（x）=lnx，
，
，
，
，
，
所以，f2（x）的按（x-2）的幂展开的带拉格朗日型余项的四阶泰勒公式为
（0<x<+∞，ξ是介于2与x之间的实数）.
例1.15.2 试确定常数A，B，C的值，使得x→0时，ex（1+Bx+Cx2）=1+Ax+o（x3）.
精解 只要写出ex（1+Bx+Cx2）的带佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式即可.
由于
，
将它代入ex（1+Bx+Cx2）=1+Ax+o（x3）中并比较x的同次幂系数得
解此方程组得
，
，
例1.15.3 求极限
精解 先写出cosx-e-x22的带佩亚诺型余项的四阶麦克劳林公式（因为函数的分母是x4，所以分子只需写出4阶麦克劳林公式即可），寻找等价无穷小，然后应用等价无穷小代替定理计算所给的极限.由于
所以，由等价无穷小代替定理知
例1.15.4 设函数f（x）在包含原点的某个区间（a，b）内二阶可导，且
，f″（x）>0（a<x<b）.证明：f（x）≥x（a<x<b）.
精解 由于f（x）二阶可导，所以对于x∈（a，b），f（x）有带拉格朗日型余项的一阶麦克
劳林公式
（ξ是介于0与x之间的实数）.（1）
由题设
及f（x）在点x=0处连续可得，f（0）=0，f′（0）=1.将它们代入式
（1）并利用f″（x）>0（a<x<b）得
注 当函数f（x）在点x0连续，且满足
时，有f（x0）=0，f′（x0）=A.应记
住这个结论.