二重积分的计算

八 、二重积分的计算

【主要内容】

1.二重积分的概念

设二元函数f（x，y）在xOy平面有界闭区域D上有界，将D任意划分成n个小闭区域Δσ₁，Δσ₂，…，Δσ_n，其中Δσ_i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个小闭区域Δσ_i上任取一点（ξ_i，η_i）（i=1，2，…，n），如果不管如何划分Δσ₁，Δσ₂，…，Δσ_n，也不管在每个Δσ_i上如何取点（ξ_i，η_i），极限（其中，λ表示各个小区域

Δσ_i的直径的最大者）总是存在且相等，则称此极限值为f（x，y）在D上的二重积分，记为，即

当f（x，y）是有界闭区域D上的二元连续函数时，二重积分存在，并且当

f（x，y）≥0时，表示以D为底，曲面z=f（x，y）为顶，侧面是以D的边界为准线、

母线平行于z轴的柱面所围成的曲顶柱体的体积.

2.二重积分的计算方法

有界闭区域上二元连续函数的二重积分计算步骤如下：

（1）按二重积分的性质，尤其是利用积分区域的对称性，化简二重积分，使它转化成易于化为二次积分的形式.

二重积分主要有以下性质：

设f（x，y），g（x，y）都是有界闭区域D上的连续函数，k是常数，则

（ⅰ），

（ⅱ），

（ⅲ）（其中，D₁，D₂是D的一个划分，即D=D₁+D₂），

（ⅳ）对于二重积分，当D关于x轴（或y轴）对称时，如果在对称点处

f（x，y）的值互为相反数，则；如果f（x，y）的值彼此相等，则，其中D₁是D按对称性划分而成的两部分之一.

当D既关于x轴对称，又关于y轴对称时，如果在对称点处f（x，y）的值彼此相等，则（D₀是D按对称性划分成的四部分之一）.

（2）将化简后的二重积分记为，然后进行两次定积分计算，即算得所求的二

重积分值.将二重积分化为二次积分的方法具体如下：

（ⅰ）设D′={（x，y）|a≤x≤b，φ₁（x）≤y≤φ₂（x）}（称为X型），则（计算时，x看做常数）.

（ⅱ）设D′={（x，y）|c≤y≤d，ψ₁（y）≤x≤ψ₂（y）}（称为Y型），则（计算时，y看做常数）.

（ⅲ）设D′={（r，θ）|0≤α≤θ≤β≤2π，r₁（θ）≤r≤r₂（θ）}（称为角域型），则（计算时，θ看做常数）.

（ⅳ）当D′既不是X型，也不是Y型和角域型时，需用与y轴平行的直线，或与x轴平行的直线，或从原点发出的射线将D′分成若干小块X型，或Y型，或角域型，然后对各小块应用（ⅰ），或（ⅱ），或（ⅲ）.

【典型例题】

例3.8.1 设f（x，y）是二元连续函数，且满足，

其中，D是由直线y=0，x=1和曲线y=x²围成的闭区域.求f（x，y）的表达式.

精解 由于是常数，记为A，则所给等式成为

f（x，y）=xy+2A.（1）

式（1）两边在D（如图3.8.1阴影部分所示）积分得，即

由于D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x²}是X型，所以

图 3.8.1

将它们代入式（2）得

，即

将它代入式（1）得

例3.8.2 求二重积分，其中，D：x²+y²≤2，x²+y²≤2x.

精解 D如图3.8.2阴影部分所示，它可表示为，，

显然是Y型，所以

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图 3.8.2

例3.8.3 计算二重积分，

其中，D：x²+y²≤4和（x+1）2+y²≥1.

精解 D如图3.8.3阴影部分所示，所以（由于D关于x轴对称，在对称

图 3.8.3

点处被积函数y互为相反数，所以

（由于D的图形比较复杂，不易计算二重积分，但它是D₁与D₂之差，而D₁与D₂都是圆，

它们的二重积分比较容易计算，因此将表示成

这种方法在二重积分中是有用的，应予以注意）.

例3.8.4 设二元函数，求二重积分，其中，D={（x，y）|x|+|y|≤2}.

精解 D关于x轴对称，也关于y轴对称，f（x，y）在对称点处的函数值彼此相等，所以，

其中，D₁是D在第一象限的部分.

按f（x，y）的表达式，将D₁划分成D₁₁与D₁₂两块，如图3.8.4所示.

D₁₁={（x，y）x+y≤1，x≥0，y≥0}，

D₁₂={（x，y）1<x+y≤2，x≥0，y≥0}.

图 3.8.4

于是，（2）

其中，，（3）

将式（3）和式（4）代入式（2）得

从而由式（1）知

例3.8.5 求二重积分，其中，D={（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤π}.

精解 因为

所以用直线，将D划分成D₁、D₂、D3，即

D=D₁+D₂+D₃，如图3.8.5所示.于是

图 3.8.5

（这里，由于不易直接计算，故把它转换成

其中，

将式（2）、式（3）、式（4）代入式（1）得