二重积分的计算
【主要内容】
1.二重积分的概念
设二元函数f（x，y）在xOy平面有界闭区域D上有界，将D任意划分成n个小闭区域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，其中Δσi表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个小闭区域Δσi上任取一点（ξi，ηi）（i=1，2，…，n），如果不管如何划分Δσ1，Δσ2，…，Δσn，也不管在每个Δσi上如何取点（ξi，ηi），极限
（其中，λ表示各个小区域
Δσi的直径的最大者）总是存在且相等，则称此极限值为f（x，y）在D上的二重积分，记为
，即
当f（x，y）是有界闭区域D上的二元连续函数时，二重积分
存在，并且当
f（x，y）≥0时，
表示以D为底，曲面z=f（x，y）为顶，侧面是以D的边界为准线、
母线平行于z轴的柱面所围成的曲顶柱体的体积.
2.二重积分的计算方法
有界闭区域上二元连续函数的二重积分计算步骤如下：
（1）按二重积分的性质，尤其是利用积分区域的对称性，化简二重积分，使它转化成易于化为二次积分的形式.
二重积分主要有以下性质：
设f（x，y），g（x，y）都是有界闭区域D上的连续函数，k是常数，则
（ⅰ）
，
（ⅱ）
，
（ⅲ）
（其中，D1，D2是D的一个划分，即D=D1+D2），
（ⅳ）对于二重积分
，当D关于x轴（或y轴）对称时，如果在对称点处
f（x，y）的值互为相反数，则
；如果f（x，y）的值彼此相等，则
，其中D1是D按对称性划分而成的两部分之一.
当D既关于x轴对称，又关于y轴对称时，如果在对称点处f（x，y）的值彼此相等，则
（D0是D按对称性划分成的四部分之一）.
（2）将化简后的二重积分记为
，然后进行两次定积分计算，即算得所求的二
重积分值.将二重积分
化为二次积分的方法具体如下：
（ⅰ）设D′={（x，y）|a≤x≤b，φ1（x）≤y≤φ2（x）}（称为X型），则
（计算
时，x看做常数）.
（ⅱ）设D′={（x，y）|c≤y≤d，ψ1（y）≤x≤ψ2（y）}（称为Y型），则
（计算
时，y看做常数）.
（ⅲ）设D′={（r，θ）|0≤α≤θ≤β≤2π，r1（θ）≤r≤r2（θ）}（称为角域型），则
（计算
时，θ看做常数）.
（ⅳ）当D′既不是X型，也不是Y型和角域型时，需用与y轴平行的直线，或与x轴平行的直线，或从原点发出的射线将D′分成若干小块X型，或Y型，或角域型，然后对各小块应用（ⅰ），或（ⅱ），或（ⅲ）.
【典型例题】
例3.8.1 设f（x，y）是二元连续函数，且满足
，
其中，D是由直线y=0，x=1和曲线y=x2围成的闭区域.求f（x，y）的表达式.
精解 由于
是常数，记为A，则所给等式成为
f（x，y）=xy+2A.（1）
式（1）两边在D（如图3.8.1阴影部分所示）积分得
，即
由于D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x2}是X型，所以
图 3.8.1
将它们代入式（2）得
，即
将它代入式（1）得
例3.8.2 求二重积分
，其中，D：x2+y2≤2，x2+y2≤2x.
精解 D如图3.8.2阴影部分所示，它可表示为
，
，
显然是Y型，所以
图 3.8.2
例3.8.3 计算二重积分
，
其中，D：x2+y2≤4和（x+1）2+y2≥1.
精解 D如图3.8.3阴影部分所示，所以
（由于D关于x轴对称，在对称
图 3.8.3
点处被积函数y互为相反数，所以
（由于D的图形比较复杂，不易计算二重积分，但它是D1与D2之差，而D1与D2都是圆，
它们的二重积分比较容易计算，因此将
表示成
这种方法在二重积分中是有用的，应予以注意）.
例3.8.4 设二元函数
，求二重积分
，其中，D={（x，y）|x|+|y|≤2}.
精解 D关于x轴对称，也关于y轴对称，f（x，y）在对称点处的函数值彼此相等，所以，
其中，D1是D在第一象限的部分.
按f（x，y）的表达式，将D1划分成D11与D12两块，如图3.8.4所示.
D11={（x，y）x+y≤1，x≥0，y≥0}，
D12={（x，y）1<x+y≤2，x≥0，y≥0}.
图 3.8.4
于是
，（2）
其中，
，（3）
将式（3）和式（4）代入式（2）得
从而由式（1）知
例3.8.5 求二重积分
，其中，D={（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤π}.
精解 因为
所以用直线
，
将D划分成D1、D2、D3，即
D=D1+D2+D3，如图3.8.5所示.于是
图 3.8.5
（这里，由于
不易直接计算，故把它转换成
其中，
将式（2）、式（3）、式（4）代入式（1）得
