两个随机变量的独立性

十三 、两个随机变量的独立性

【主要内容】

设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x，y），边缘分布函数为F_X（x）和F_Y（y）.如果对任意实数x，y有F（x，y）=F_X（x）F_Y（y），则称X与Y相互独立（简称独立）.

当（X，Y）是二维离散型随机变量，其分布律为P（X=x_i，Y=y_i）=p_ij（i=1，2，…，m，…；j=1，2，…，n，…），边缘分布律为P（X=x_i）=p_i·（i=1，2，…，m，…）和P（Y=y_j）（j=1，2，…，n，…）时，X与Y相互独立的充分必要条件是对任意i，j都有

p_ij=pi··p·j

当（X，Y）是二维连续型随机变量，其概率密度为f（x，y）（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），边缘概率密度为f_X（x）（-∞<x<+∞）和f_Y（y）（-∞<y<+∞）时，X与Y相互独立的充分必要条件是

f（x，y）=f_X（x）f_Y（y）在xOy平面上几乎处处成立.

注 （ⅰ）设随机变量X与Y相互独立，g（x），h（y）是连续函数，则随机变量Z₁=g（X）与Z₂=h（Y）也相互独立.

（ⅱ）多个随机变量的独立性也可类似定义.

如果对任意实数x₁，x₂，…，x_n有

F（x₁，x₂，…，x_n）=F₁（x₁）F₂（x₂）…F_n（x_n），则称随机变量X₁，X₂，…，X_n相互独立，其中F是n维随机变量（X₁，X₂，…，X_n）的分布函数，F₁，F₂，…，F_n分别是随机变量X₁，X₂，…，X_n的分布函数.

【典型例题】

例7.13.1 （单项选择题）设两个随机变量X与Y相互独立，且有相同的分布律，则下列等式中成立的是（ ）.

A.B.P（X=Y）=1C.D.

精解 先考虑选项A.

因此本题选A.

例7.13.2 设随机变量X与Y相互独立，二维随机变量（X，Y）的分布律及边缘分布律如下表所示：

求其中用文字表示的各个概率值.

精解 由得；由得；

由，即得；

由，即得；

由得；

由 p₂·p_·2=p₂₂，即得；

由，即得，

例7.13.3 设随机变量X与Y相互独立，X～E（5），Y～U[0，2]，求：

（1）二维随机变量（X，Y）的概率密度f（x，y）；

（2）概率P（Y≥X）.(https://www.daowen.com)

精解 （1）由题设知，X与Y的概率密度分别为

所以，由X与Y相互独立得（X，Y）的概率密度为

（2）由（1）知，f（x，y）在D={（x，y）x≥0，0≤y≤2}（如图7.13.3阴影部分所示）上取值为，在xOy平面的其他部分取值为零.P（Y≥X）=P（（X，Y）∈D₁）（其中D₁={（x，y）y≥x}）

=P（（X，Y）∈D∩D₁=△OAB）（△OAB如图7.13.3所示）

图 7.13.3

例7.13.4 设随机变量X与Y相互独立，又设随机变量Z在[0，1]上随机取值，当时，X与Y都服从U[0，1]；当时，X与Y都服从B（2，0.8），求关

于t的二次方程t²+Xt+Y=0有实根的概率.

精解 记A={所给二次方程有实根}，则

当X，Y都服从U[0，1]时，它们的概率密度分别为

所以，由X与Y相互独立得（X，Y）的概率密度为

由此得到

图 7.13.4

当X，Y都服从B（2，0.8）时，它们的分布律分别为

所以，由X与Y相互独立得

p₂=P（（X，Y）∈D）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=0）+P（X=2，Y=1）

=P（X=0）P（Y=0）+P（X=1）P（Y=0）+P（X=2）P（Y=0）+P（X=2）P（Y=1）

=0.04×0.04+0.32×0.04+0.64×0.04+0.64×0.32

=0.2448.（3）

将式（2）、式（3）代入式（1）得