参数的点估计方法
【主要内容】
1.参数点估计的概念
设总体X的概率分布形式已知，但含有未知参数θ，对θ的点估计就是借助总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn（观察值为x1，x2，…，xn），用适当的统计量θ^（X1，X2，…，Xn）作为θ的估计量，用θ^（X1，X2，…，Xn）的观察值θ^（x1，x2，…，xn）作为θ的估计值.
2.参数的点估计方法
参数点估计有两种常用方法：
（1）矩估计法
用样本矩作为相应的总体矩（包含待估参数θ）的估计量（或估计值），对θ作出点估计.这种方法称为参数θ的矩估计法.
（2）最大似然估计法
根据总体分布和样本构造似然函数（包含待估参数θ），取使似然函数达到最大值的θ^作为θ的估计量（或估计值）.这种方法称为θ的最大似然估计法.
似然函数的作法如下：
设总体X是离散型随机变量，它的分布律P（X=x）=p（x；θ）（θ是待估参数），则此时的似然函数L（x1，x2，…，xn；θ）（或简记为L（θ））为
L（θ）=p（x1；θ）p（x2；θ）…p（xn；θ），其中x1，x2，…，xn是相应于来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的观察值.
设总体X是连续型随机变量，它的概率密度为f（x；θ）（θ是待估参数），则此时的似然函数L（x1，x2，…，xn；θ）（或简记为L（θ））为
L（θ）=f（x1；θ）f（x2；θ）…f（xn；θ），其中x1，x2，…，xn是相应于来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的观察值.
3.常用总体的参数点估计设（X1，X2，…，Xn）是来自总体X的一个简单随机样本，其中
【典型例题】
例8.3.1 设总体X的概率密度为
其中θ>0是未知参数，x1，x2，…，xn是来自总体X的一个样本观察值.分别用矩估计法和最大似然估计法计算θ的估计值.
精解 （1）矩估计法.因为
，所以，由矩估计法得
（其中
），即
解此方程得
因此由矩估计法所得的
θ的估计值为
（2）最大似然估计法.
似然函数为L（θ）=f（x1）f（x2）…f（xn）
，
显然，L（θ）只能在0<x1，x2，…，xn<1的点（x1，x2，…，xn）处取到最大值，故可取
，
即
由最大似然估计法，令
，即
，
此方程的解即为θ的最大似然估计值
例8.3.2 设总体X的分布律为
其中，
是未知参数.设3，1，3，0，3，1，2，3是X的一个样本观察值，分别
用矩估计法和最大似然估计法计算θ的估计值.
精解 （1）矩估计法.
因为EX=0·θ2+1·2θ（1-θ）+2·θ2+3·（1-2θ）
=3-4θ，
所以，由矩估计法得
，即3-4θ=2.
解此方程得
因此由矩估计法得θ的估计值为
（2）最大似然估计法.
似然函数L（θ）=P（X=0）·[P（X=1）]2·P（X=2）·[P（X=3）]4
=θ2·[2θ（1-θ）]2·θ2·（1-2θ）4=4θ6（1-θ）2（1-2θ）4，即lnL（θ）=ln4+6lnθ+2ln（1-θ）+4ln（1-2θ）.
由最大似然估计法，令
，即
此方程位于
内的解，即为θ的最大似然估计值
例8.3.3 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其中X的概率密度为
（θ是未知参数）.
求参数θ的矩计量
，并计算D
精解 因为
，
所以，由矩估计法得
，即
所以θ的矩估计量
下面计算
其中
所以，
例8.3.4 设某种元件的使用寿命X的概率密度为
（其中θ是未知参数），
又设X1，X2，…，Xn（n>1）是来自总体X的简单随机样本，求：
（1）θ的矩估计量
；
（2）θ的最大似然估计量
精解 （1）由于
所以，由矩估计法得
，即
所以θ的矩估计量
（2）设x1，x2，…，xn是样本X1，X2，…，Xn的观察值，则似然函数为L（θ）=f（x1）f（x2）…f（xn）
显然，L（θ）的最大值只能在x1，x2，…，xn≥θ处取到，所以可取
由于L（θ）是θ的单调增加函数，所以当θ=min{x1，x2，…，xn}时，L（θ）取最大值.因此由θ的最大似然估计量为
例8.3.5 设总体X～N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn是它的一个简单随机样本，求使得
的点A的最大似然估计量，其中f（x；μ，σ2）是X的概率密度，μ，σ2是未知参数.
精解 将A表示成关于μ，σ2的函数，然后用μ，σ2的最大似然估计量算出A的最大似然估计量.
由
，即
得
查表得
于是A的最大似然估计量为
其中，
是μ，σ的最大似然估计量，它们分别为
所以，A的最大似然估计量为
