参数的点估计方法

三 、参数的点估计方法

【主要内容】

1.参数点估计的概念

设总体X的概率分布形式已知，但含有未知参数θ，对θ的点估计就是借助总体X的简单随机样本X₁，X₂，…，X_n（观察值为x₁，x₂，…，x_n），用适当的统计量θ^（X₁，X₂，…，X_n）作为θ的估计量，用θ^（X₁，X₂，…，X_n）的观察值θ^（x₁，x₂，…，x_n）作为θ的估计值.

2.参数的点估计方法

参数点估计有两种常用方法：

（1）矩估计法

用样本矩作为相应的总体矩（包含待估参数θ）的估计量（或估计值），对θ作出点估计.这种方法称为参数θ的矩估计法.

（2）最大似然估计法

根据总体分布和样本构造似然函数（包含待估参数θ），取使似然函数达到最大值的θ^作为θ的估计量（或估计值）.这种方法称为θ的最大似然估计法.

似然函数的作法如下：

设总体X是离散型随机变量，它的分布律P（X=x）=p（x；θ）（θ是待估参数），则此时的似然函数L（x₁，x₂，…，x_n；θ）（或简记为L（θ））为

L（θ）=p（x₁；θ）p（x₂；θ）…p（x_n；θ），其中x₁，x₂，…，x_n是相应于来自总体X的简单随机样本X₁，X₂，…，X_n的观察值.

设总体X是连续型随机变量，它的概率密度为f（x；θ）（θ是待估参数），则此时的似然函数L（x₁，x₂，…，x_n；θ）（或简记为L（θ））为

L（θ）=f（x₁；θ）f（x₂；θ）…f（x_n；θ），其中x₁，x₂，…，x_n是相应于来自总体X的简单随机样本X₁，X₂，…，X_n的观察值.

3.常用总体的参数点估计设（X₁，X₂，…，X_n）是来自总体X的一个简单随机样本，其中

【典型例题】

例8.3.1 设总体X的概率密度为其中θ>0是未知参数，x₁，x2，…，xn是来自总体X的一个样本观察值.分别用矩估计法和最大似然估计法计算θ的估计值.

精解 （1）矩估计法.因为，所以，由矩估计法得（其中），即解此方程得因此由矩估计法所得的

θ的估计值为

（2）最大似然估计法.

似然函数为L（θ）=f（x₁）f（x₂）…f（x_n），

显然，L（θ）只能在0<x₁，x₂，…，x_n<1的点（x₁，x₂，…，x_n）处取到最大值，故可取，

即

由最大似然估计法，令，即，

此方程的解即为θ的最大似然估计值

例8.3.2 设总体X的分布律为

其中，是未知参数.设3，1，3，0，3，1，2，3是X的一个样本观察值，分别

用矩估计法和最大似然估计法计算θ的估计值.

精解 （1）矩估计法.(https://www.daowen.com)

因为EX=0·θ²+1·2θ（1-θ）+2·θ²+3·（1-2θ）

=3-4θ，

所以，由矩估计法得，即3-4θ=2.

解此方程得因此由矩估计法得θ的估计值为

（2）最大似然估计法.

似然函数L（θ）=P（X=0）·[P（X=1）]²·P（X=2）·[P（X=3）]⁴

=θ²·[2θ（1-θ）]²·θ²·（1-2θ）4=4θ⁶（1-θ）2（1-2θ）4，即lnL（θ）=ln4+6lnθ+2ln（1-θ）+4ln（1-2θ）.

由最大似然估计法，令，即

此方程位于内的解，即为θ的最大似然估计值

例8.3.3 设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，其中X的概率密度为（θ是未知参数）.

求参数θ的矩计量，并计算D

精解 因为，

所以，由矩估计法得，即所以θ的矩估计量

下面计算其中所以，

例8.3.4 设某种元件的使用寿命X的概率密度为（其中θ是未知参数），

又设X₁，X₂，…，X_n（n>1）是来自总体X的简单随机样本，求：

（1）θ的矩估计量；

（2）θ的最大似然估计量

精解 （1）由于

所以，由矩估计法得，即所以θ的矩估计量

（2）设x₁，x₂，…，x_n是样本X₁，X₂，…，X_n的观察值，则似然函数为L（θ）=f（x₁）f（x₂）…f（x_n）

显然，L（θ）的最大值只能在x₁，x₂，…，x_n≥θ处取到，所以可取

由于L（θ）是θ的单调增加函数，所以当θ=min{x₁，x₂，…，x_n}时，L（θ）取最大值.因此由θ的最大似然估计量为

例8.3.5 设总体X～N（μ，σ²），X₁，X₂，…，X_n是它的一个简单随机样本，求使得的点A的最大似然估计量，其中f（x；μ，σ²）是X的概率密度，μ，σ²是未知参数.

精解 将A表示成关于_μ，σ²的函数，然后用μ，σ²的最大似然估计量算出A的最大似然估计量.

由，即得查表得于是A的最大似然估计量为

其中，是_μ，σ的最大似然估计量，它们分别为

所以，A的最大似然估计量为