求幂级数的和函数

十四 、求幂级数的和函数

【主要内容】

1.求幂级数和函数的方法的和函数可按以下方法计算：

（1）对进行适当的代数运算（例如，将的各项同乘以一个常数或x^k，或者

提出一个常数或x^k，k为某个正整数），或作适当的变量代换，使其成为常用函数的麦克劳林级

数，从而求得的和函数s（x）.有时将表示成几个幂级数之和，然后对每个幂级

数都作以上处理，由此算得的和函数s（x）.

（2）对在收敛区间内进行求导或积分运算，使其成为某个常用函数的麦克劳林级

数或几个常用函数的麦克劳林级数之和，由此求得的和函数s（x）.

2.求幂级数和函数的方法

令y=x-x₀，所给幂级数成为，利用上一段所述方法算出它的和函数，记为

s₁（y），则的和函数s（x）=s₁（x-x₀）.

【典型例题】

例4.14.1 求幂级数的和函数s（x）.

精解 所给幂级数的收敛域为[-1，1]，对任意x∈[-1，1）有，（1）

其中，，

将它们代入式（1）得

即当x∈[-1，0）∪（0，1）时，

此外，，

综上所述，

例4.14.2求幂级数的收敛域与和函数.

精解 由知，所给幂级数的

收敛半径R=+∞，由此得收敛域为（-∞，+∞）.对任意x∈（-∞，+∞）有

例4.14.3 求幂级数的和函数s（x）.

精解 记的和函数为s₁（x），则s（x）=xs₁（x）.（1）

由知的收敛半径为R=1，收敛区间为（-1，1），

并且x=-1，1都不是收敛点，所以收敛域为（-1，1），即，

于是

式（2）的两边在（-1，1）内积分得

式（3）两边对x求二阶导数得

代入式（1）得

注 由以上三个例题可知，当幂级数的系数如等是关于n的有

理分式时，通常用逐项求导求和函数；当幂级数的系数如n（n+1）等是关于n的整式

时，通常用逐项积分求和函数.

例4.14.4 求幂级数的收敛域与和函数s（x）.

精解 显然，，它的成立范围为

1，即

下面计算

的收敛域与和函数s₁（x）.

由于式（1）是缺项幂级数，所以利用正项级数比较判别法计算它的收敛域：

由知，在，即时，

成立，因此，题中所给幂级数的收敛域为

在内，式（2）两边对x分别求两次导数得

对于任意，式（3）积分得

对于任意，式（4）积分得

综上所述，对有