二维连续型随机变量及其概率密度

十 、二维连续型随机变量及其概率密度

【主要内容】

1.二维连续型随机变量及其概率密度的定义

设（X，Y）是二维随机变量，如果存在非负可积函数f（x，y）（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），使得xOy平面上的任意区域G，有，

则称（X，Y）是二维连续型随机变量，称f（x，y）为（X，Y）的概率密度，或X、Y的联合概率密度，其中f（x，y）有以下性质：

（1）f（x，y）非负可积；

（2）

xOy平面

2.常用的二维连续型随机变量

（1）在区域G上服从均匀分布的二维随机变量设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，（其中，A是G的面积且A≠0），则称（X，Y）是在区域G上服从均匀分布的二维随机变量，简称（X，Y）在G上服从均匀分布.

（2）服从正态分布的二维随机变量

设二维随机变量的概率密度为

（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），则称（X，Y）是服从参数为μ₁，μ₂，σ²₁，σ²₂，ρ（其中μ₁，μ₂是实数，σ₁，σ₂为正数，ρ<1）的正态分布的二维随机变量，简称（X，Y）服从参数为μ₁，μ₂，σ²₁，σ²₂，ρ的正态分布，记为（X，Y）～N（μ₁，μ₂，σ²₁，σ²₂，ρ）.

3.二维连续型随机变量的边缘概率密度

设（X，Y）是二维连续型随机变量，概率密度为f（x，y）（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），则分别称X，Y的概率密度f_X（x），f_Y（y）为（X，Y）关于X和关于Y的边缘概率密度，其中

4.二维连续型随机变量的条件概率密度

设（X，Y）是连续型随机变量，它的概率密度、边缘概率密度分别为f（x，y），f_X（x）与f_Y（y）（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），则

当y满足f_Y（y）>0时，称为在条件Y=y下X的

条件概率密度；

当x满足f_X（x）>0时，称为在条件X=x下Y的

条件概率密度.

【典型例题】

例7.10.1 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求（X，Y）的边缘概率密度f_X（x）与f_Y（y）.

精解 先画出f（x，y）的值在xOy平面上的分布图，然后按边缘概率密度计算公式计算f_X（x）与f_Y（y）.

f（x，y）在如图7.10.1所示的带阴影的△OAB内取值为1，在xOy平面的其余部分都取值为零.

图 7.10.1

由图可知，关于X的边缘概率密度为

同样，由图可知，关于Y的边缘概率密度为

例7.10.2 设二维随机变量（X，Y）在如图7.10.2阴影部分所示的区域D={（x，y）y≤x<2-y，0≤y≤1}上服从均匀分布，求：

（1）（X，Y）的关于X和关于Y的边缘概率密度f_X（x）和f_Y（y）；

（2）概率P（2X+Y≤2）.

图 7.10.2

精解 （1）先写出（X，Y）的概率密度f（x，y）的表达式，然后根据边缘概率密度计算公式计算f_X（x）与f_Y（y）.，所以（X，Y）的概率密度

由此由边缘概率密度计算公式可得

（2）

例7.10.3 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求常数A及条件概率密度f_YX（yx）.

精解 先算出关于X的边缘概率密度f_X（x），然后利用概率密度的性质算出常数A并利用条件概率密度计算公式算出f_YX（yx）.

由于关于X的边缘概率密度（这是由于是服从的随机变

量的概率密度，所以

其中，由常数A满足，即得，并且，

由于，f_X（x）≠0（-∞<x<+∞），所以对任意x∈（-∞，+∞）有

例7.10.4 设随机变量X在（0，1）内服从均匀分布，在X=x（0<x<1）的条件下，随机变量Y在（0，x）内服从均匀分布，求二维随机变量（X，Y）的概率密度f（x，y）.精解 X的概率密度为，显然对任意x∈（0，1），f_X（x）≠0.

此外，在X=x（0<x<1）的条件下随机变量在区间（0，x）内服从均匀分布，实际上给

出条件概率密度

所以，