二维随机变量的分布函数

十一 、二维随机变量的分布函数

【主要内容】

1.二维随机变量分布函数的概念

设（X，Y）是二维随机变量，则称二元函数F（x，y）=P（X≤x，Y≤y）是（X，Y）的分布函数，或x，y的联合分布函数.

二维随机变量分布函数F（x，y）有以下性质：

（1）0≤F（x，y）≤1，

（2）对任意x，y∈（-∞，+∞）有F（x，-∞）=F（-∞，y）=0，特别地，有F（-∞，-∞）=0，此外有F（+∞，+∞）=1，

（3）对任意固定的x，F（x，y）是关于y的单调不减函数；对任意固定的y，F（x，y）是关于x的单调不减函数.

（4）对任意固定的x，F（x，y）是关于y的右连续函数；对任意固定的y，F（x，y）是关于x的右连续函数.

（5）对任意实数x₁，x₂，y₁，y₂（其中，x₁<x₂，y₁<y₂），有

F（x₂，y₂）-F（x₂，y₁）-F（x₁，y₂）+F（x₁，y₁）≥0.

（6）当F（x，y）是二维连续型随机变量（X，Y）的分布函数时，它必是二元连续函数，且它与概率密度f（x，y）之间有以下关系.，其中D_xy={（s，t）s≤x，t≤y}（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞）.

2.二维随机变量的边缘分布函数

设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x，y）（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），则分别称X，Y的分布函数F_X（x），F_Y（y）为关于X的边缘分布函数和关于Y的边缘分布函数，其中

F_X（x）=F（x，+∞）（-∞<x<+∞），F_Y（y）=F（+∞，y）（-∞<y<+∞）.

注 n维随机变量及其分布函数也可类似地定义.

设E是随机试验，则由定义在E的样本空间S上的随机变量X₁，X₂，…，X_n构成的有序对（X₁，X₂，…，X_n）称为n维随机变量.

设（X₁，X₂，…，X_n）是n维随机变量，则称

F（x₁，x₂，…，x_n）=P（X₁≤x₁，X₂≤x₂，…，X_n≤x_n）为n维随机变量（X₁，X₂，…，X_n）的分布函数或X₁，X₂，…，X_n的联合分布函数.

【典型例题】

例7.11.1 （单项选择题）设二维连续型随机变量（X，Y）的分布函数为

则概率P（Y≤X²）为（ ）.

A.B.

C.D.

其中Φ（t）是标准正态分布函数.

精解 记D={（x，y）y≤x²}，则因此

应先算出（X，Y）的概率密度f（x，y）.

由于

所以，

因此本题选C.

例7.11.2 设二维随机变量（X，Y）的分布函数为，

求：（1）常数A，B，C；

（2）（X，Y）的概率密度f（x，y）；

（3）概率

精解 （1）由二维分布函数的性质知，A，B，C应满足下列方程组：

即

由式（3）知A≠0，因此由式（1）、式（2）得，将它们代入式（3）得

（2）由（1）的计算知

从而-∞<y<+∞）.

（3）由于关于X的边缘分布函数为，

所以

例7.11.3 设事件A，B满足，.记随机变量

求二维随机变量（X，Y）的分布函数F（x，y）.

精解 （X，Y）是二维离散型随机变量，因此先算出它的分布律，再计算分布函数F（x，y）.由题设P（BA）=P（AB）可得P（B）=P（A）.

图 7.11.3

（X，Y）全部可能取的值为（0，0），（0，1），（1，0）以及（1，1）（如图7.11.3所示），并且

所以，（X，Y）的分布律为

于是由图7.11.3可得（X，Y）的分布函数为

例7.11.4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求（X，Y）的分布函数F（x，y）.

精解 f（x，y）在正方形区域G={（u，v）0≤u≤1，0≤v≤1}（如图7.11.4阴影部分所示）上取值为4uv，在uOv平面的其他部分取值都为零.

图 7.11.4