练习题八

练习题八

1.单项选择题

（1）设X₁，X₂，…，X_n（n≥2）是来自总体X～N（0，1）的简单随机样本，X，S²分别是其均值与方差，则（ ）.

A.nX～N（0，1）B.nS²～χ²（n）

C.D.

（2）设X₁，X₂，…，X_n（n>1）是来自总体X（其方差σ²>0）的简单随机样本.记Y=，则（ ）.

A.B.Cov（X₁，Y）=σ2

C.D.

（3）设X～N（μ₁，σ²），Y～N（μ₂，σ²），它们相互独立，X₁，X₂，…，X_n1和Y₁，Y₂，…，Yn₂是分别来自总体X和Y的简单随机样本，记它们的均值分别为与，则

A.B.

C.σ2D.

（4）设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X～N（μ，σ²）的样本，其均值为，记，，则服从t（n-1）分布的随机变量是（ ）.

A.B.

C.D.

（5）设X₁，X₂，…，X₈和Y₁，Y₂，…，Y10分别是来自两个相互独立正态总体N（^-1，4）和N（2，5）的简单随机样本，S²₁和S²₂分别是这两个样本的方差，则服从F（7，9）分布的统计量是（ ）.

A.B.

C.D.

（6）设X～N（a，σ²），Y～N（b，σ²），并且相互独立，分别从总体X和Y各抽取容量为9和11的简单随机样本，记它们的方差为S²_X和S²_Y，并记和S²_XY=，则上述4个统计量S²_X，S²_Y，S²₁₂，S²_XY中方差最小的是（ ）.

A.S²_X B.S2Y C.S212 D.S2XY（7）设随机变量X₁，X₂，X₃，X₄独立同服从N（1，1）分布，且～χ²（n），则k和n分别为（ ）.

A.，1B.，1

C.，4D.，4

（8）设总体X的概率密度为，X₁，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其方差为S²，则ES²=（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.4

（9）设随机变量X～F（n，n），记p₁=P（X≥1），p₂=P（X≤1），则（ ）.

A.p₁<p₂ B.p₁>p2

C.p₁=p₂ D.p1，p2大小无法比较

（10）设随机变量T～t（n），对α∈（0，1），t_α（n）满足P（T>t_α（n））=α，则满足P（T≤b）=α的b为（ ）.

A.B.

C.D.

（11）设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X～N（0，σ²）的一个简单随机样本，则统计量的数学期望与方差分别为（ ）.

A.，B.，

C.σ²，D.σ²，

（12）设X₁，X₂，…，X_n1和Y₁，Y₂，…，Y_n2分别是来自相互独立的总体X和Y的简单随机样本，其中X～N（μ₁，σ²），Y～N（μ₂，σ²）.记S_w²=（n₁-1）S²₁+（n₂-1）S²₂（S²₁，S²₂分别是样本X₁，X₂，…，X_n1和Y₁，Y₂，…，Y_n2的方差），则（ ）.

A.ESw²=（n₁+n₂-2）σ²，DS_w²=2（n₁+n₂-2）σ²

B.ES_w²=（n₁+n₂-1）σ²，DS_w²=2（n₁+n₂-1）σ²

C.ES_w²=（n₁+n₂-2）σ²，DS_w²=2（n₁+n₂-2）σ⁴

D.ES_w²=（n₁+n₂-1）σ²，DS_w²=2（n₁+n₂-1）σ⁴

（13）设x₁，x₂，…，x_n是来自总体X～N（μ，σ²）（μ，σ²都未知）的简单随机样本的观察值，x是它的均值，则σ²的最大似然估计值为（ ）.

A.B.

C.D.

2.解答题

（1）设总体X的概率密度为

，x>0，

{_x≤0，（λ>0），X₁，X₂，…，X_n为总体X的简单随机样本，其样本方差为S²，求ES².

（2）设总体X的概率密度为，X₁，X₂，…，X50为取自总体X的一个简单随机样本，其均值为X，用独立同分布中心极限定理计算概率P（X>0.2）.

（3）设X和Y是两个独立的服从标准正态分布的总体，X₁，X₂，…，X₈和Y₁，Y₂，…，Y₉是分别来自X和Y的简单随机样本，它们的均值分别为和记，

证明：服从自由度为15的t分布.

（4）设总体X～N（12，4），X₁，X₂，…，X_n是来自X的简单随机样本，求：

（ⅰ）n=5时样本均值与总体数学期望之差绝对值大于1的概率；

（ⅱ）概率P（max{X₁，X₂，…，X₅}>15）.

（5）设X和Y是相互独立的两个总体，X～N（0，4），Y～N（0，9），X₁，X₂，…，X10

以及Y₁，Y₂，…，Y₁₅是分别来自X和Y的简单随机样本，，Y是它们的均值.求

（ⅰ）统计量XY所服从的分布；

（ⅱ）EX-Y和DX-Y.

（6）设X₁，X₂是来自总体X～N（μ，σ²）的简单随机样本，和S²分别为样本的均值与

方差，证明：

（7）设X₁，X₂，…，X_n（n>2）是来自总体X～N（0，1）的简单随机样本，其均值为记，i=1，2，…，n.求

（ⅰ）DY_i（i=1，2，…，n）；

（ⅱ）Cov（Y₁，Y_n）.

（8）设某信息台在上午8：00～9：00之间接到的呼叫次数X服从参数为λ（未知）的泊松分布.现收集了42个数据，整理后得表如下：

据此数据求λ的最大似然估计值.

（9）设总体X的概率密度为，其中θ>-1是未知参数，

X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本.求θ的矩估计量与最大似然估计量.

（10）设总体X的概率密度为

，

{，其中θ>0是未知参数.现从X中抽取简单随机样本X₁，X₂，…，X_n，记.

（ⅰ）求X的分布函数F（x）；

（ⅱ）求的分布函数

（ⅲ）求

（11）设总体X的概率密度为，其中，θ>0是未知参数，X₁，X₂，…，X_n是来自X的简单随机样本.

（ⅰ）求θ的最大似然估计量

（ⅱ）求

（ⅲ）求

（12）设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，其中X服从均值为θ的指数分布.证明：参数θ的最大似然估计量θ^近似地服从