函数极值的计算
【主要内容】
1.函数极值的定义
设函数f（x）在点x0的某个充分小的邻域内有定义.如果对这个邻域内每个不为x0的x都有f（x）>f（x0）（f（x）<f（x0）），则称f（x0）是f（x）的一个极小值（极大值），称x0为f（x）的一个极小值点（极大值点）.极小值与极大值统称极值，极小值点与极大值点统称极值点.
2.函数极值的必要条件
设x0是函数f（x）的极值点，则f′（x0）=0或f′（x0）不存在.
由此可知，f（x）的可能极值点来自两个方面：f′（x）为0的点（称为f（x）的驻点）和f′（x）不存在的点.
3.函数极值的充分条件
第一充分条件：设函数f（x）在点x0处连续，在点x0的某个去心邻域（x0-δ，x0）∪（x0，x0+δ）（δ>0）内可导.
（1）如果x∈（x0-δ，x0）时f′（x）>0，x∈（x0，x0+δ）时f′（x）<0，则f（x0）是f（x）的一个极大值；
（2）如果x∈（x0-δ，x0）时f′（x）<0，x∈（x0，x0+δ）时f′（x）>0，则f（x0）是f（x）的一个极小值；
（3）如果x∈（x0-δ，x0）∪（x0，x0+δ）时f′（x）的符号保持不变，则f（x0）不是f（x）的极值.
第二充分条件：设函数f（x）在点x0处二阶可导，且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，则
（1）当f″（x0）<0时，f（x0）是f（x）的一个极大值；
（2）当f″（x0）>0时，f（x0）是f（x）的一个极小值.
4.函数极值的计算步骤
函数极值可按以下步骤计算：
（1）计算f（x）的定义域；
（2）在定义域内计算f（x）的所有可能极值点（即f（x）的驻点与导数f′（x）不存在的点，此外将分段函数的分段点也列入可能极值点），记为x1，x2，…，xn.
（3）由第一充分条件或第二充分条件逐一判定x1，x2，…，xn是否为f（x）的极大值点或极小值点.如果是，算出对应的函数值，即得f（x）的极值.
【典型例题】
例1.18.1 （单项选择题）设函数f（x）在点x=0的某个邻域内连续，且满足
，则x=0是（）.
A.f（x）的驻点，且为极大值点 B.f（x）的驻点，且为极小值点
C.f（x）的驻点，但不是极值点 D.不是f（x）的驻点
精解 由
，从而f′（0）=0，即x=0
是f（x）的驻点，且f（0）=0.
另由题设
知在（-δ，0）∪（0，δ）（δ是某个充分小的正数）内
，所以，当x∈（-δ，0）时，f（x）>0=f（0）；当x∈（0，δ）时，f（x）<0=
f（0）.由此可知，x=0不是f（x）的极值点.
因此本题选C.
例1.18.2 （单项选择题）设偶函数f（x）在点x=0处二阶可导，且f″（0）≠0，则x=0（ ）.
A.是f（x）的驻点，但不是极值点
B.不是f（x）的驻点，但是极值点
C.是f（x）的驻点和极值点
D.既不是f（x）的驻点，又不是极值点
精解 由f（x）是偶函数知，f′（x）是奇函数，并且在点x=0处连续，所以f′（0）=0，即x=0是f（x）的驻点.
由于f″（0）≠0，所以x=0是f（x）的极值点.
因此本题选C.
注 当f（x）是可导的偶函数（奇函数）时，f′（x）是奇函数（偶函数）.
例1.18.3 求函数f（x）=|x|e-|x-1|的极值.
精解 f（x）的定义域为（-∞，+∞），且
所以f（x）的可能极值点为x=-1（驻点），x=0，1（都是分段点），据此列表如下：
由表可知，
都是f（x）的极大值，f（0）=0是f（x）的极小值.
例1.18.4 设函数y=y（x）由方程2y3-2y2+2xy-x2=1确定，求y=y（x）的驻点，并判别它是否为极值点？
精解 所给方程两边对x求导得
3y2y′-2yy′+y+xy′-x=0.（1）
设驻点为x0，记y0=y（x0），将它们以及y′（x0）=0代入式（1）得y0=x0，将x=x0，y=y0=x0代入题设的方程得2x30-x20=1，即2x30-x20-1=0.由于（2x30-2x02）+（x20-1）=（x0-1）（2x20+x0+1），所以，方程2x03-x20-1=0有且仅有实根x0=1，即y=y（x）只有唯一的驻点x=1.
式（1）的两边对x求导得
6y（y′）2+3y2y″-2（y′）2-2yy″+2y′+xy″-1=0，（2）
将x=1，y=1以及y′=0代入式（2）得
所以x=1是y=y（x）的极小值点.
例1.18.5 求在点x=1处有极大值6，在点x=3处有极小值2的最低次多项式（它的最高次系数为1）的表达式.
精解 对一次多项式、二次多项式等逐一检验，求得满足要求的多项式.
由于一次多项式无极大值与极小极，所以不满足要求.
由于二次多项式（它的图形是抛物线）不会既有极大值又有极小值，所以也不满足要求.
下面考虑三次多项式x3+ax2+bx+c.
记y=x3+ax2+bx+c，则y′=3x2+2ax+b，y″=6x+2a.于是由题设知，a，b，c应满足以下方程和不等式组：
即
解此方程和不等式组得a=-6，b=9，c=2，所以符合题意的多项式为x3-6x2+9x+2.