级数收敛性的概念与收敛级数的性质

八 、级数收敛性的概念与收敛级数的性质

【主要内容】

1.级数收敛性的概念

设数列{u_n}，则称记号为无穷级数，简称级数.记，则称{s_n}为级数的部分和数列.如果{s_n}收敛于s，则称级数收敛，且称s

为该级数的和，记为；如果{s_n}发散，则称级数发散.

2.收敛级数的基本性质

（1）如果级数和分别收敛于u与v，则级数和都收

敛，它们的和分别为u+v和u-v.

（2）如果级数收敛，k为常数，则级数收敛，且当时，

（3）如果级数收敛，则在它的前面任意添加有限项、去掉或改变它开头的有限项而成的级数仍收敛.

（4）如果级数收敛，则对它的项任意加括号后所得级数仍收敛，且其和不变.

（5）如果级数收敛，则（级数收敛的必要条件）.

3.常用级数收敛性

（1）级数收敛，且其和为1.

（2）等比级数：当0<q<1时，收敛，且其和为；当q≥

1时，发散.

（3）p级数：当p>1时，收敛；当p≤1时，发散.

（4）：当p>1或p=1而q>1时，收敛；当p<1或p=1

而q≤1时，发散.

【典型例题】

例4.8.1（单项选择题） 设有命题

① 如果收敛，则收敛.

② 如果收敛，则收敛.

③ 如果，则发散.

④ 如果收敛，则和都收敛.则以上命题中正确的是（ ）.

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

精解 由收敛级数基本性质知，当收敛时，收敛，所以命题②正确.

在假定成立的情况下，必存在正整数N，当n≥N时有，于是由，即知，

所以发散.所以命题③正确.

因此本题选B.

例4.8.2（单项选择题） 设由收敛级数构造以下级数

①，②，

③，④，

则上面四个级数中必收敛的是（ ）.

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

精解 由于③是对两项加括号而成的级数，所以由收敛级数的基本性质知，③必收敛.

由于④是两个收敛级数与相加而成的级数，所以由收敛级数的基本性质

知，④必收敛.

因此本题选C.

注 （ⅰ）未必收敛.例如收敛，但发散.

（ⅱ）也未必收敛，例如收敛，但发散.

例4.8.3（单项选择题） 如果级数，都发散，则（ ）.

A.必发散B.必发散

C.必发散D.必发散

精解 选项A，B，D是不正确的.例如，都是发散级数，

但，都是收敛的.

因此本题选C.

例4.8.4 求级数的和.

精解，

所以，