二维离散型随机变量及其分布律

九 、二维离散型随机变量及其分布律

【主要内容】

1.二维随机变量的定义

设E是随机试验，则称由定义在E的样本空间Ω上的随机变量X与Y构成的有序对（X，Y）为二维随机变量.

2.二维离散型随机变量及其分布律

设（X，Y）是二维随机变量，如果（X，Y）全部可能取的值是有限多个对或可列无限多个对时，则称（X，Y）为离散型随机变量.

设（X，Y）是二维离散型随机变量，它全部可能取的值为（x_i，y_j）（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n或者i，j=1，2，…），且取这些值对应的概率为p_ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n或者i，j=1，2，…），则称

或

（简记为P（X=x_i，Y=y_j）=p_ij，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n）（简记为P（X=x_i，Y=y_j）=p_ij，i，j=1，2，…）

为（X，Y）的分布律，其中p_ij有以下性质：

（1）每个p_ij≥0；

（2）Σ_iΣ_jp_ij=1.

3.二维离散型随机变量的边缘分布律设（X，Y）是二维离散型随机变量，且分布律为P（X=x_i，Y=y_j）=p_ij（i=1，2，…，

m；j=1，2，…，n或者i，j=1，2，…），则分别称X，Y的分布律

P（X=x_i）=p_i·（i=1，2，…，m或i=1，2，…），

P（Y=y_j）=p·j（j=1，2，…，n或j=1，2，…）

为（X，Y）的关于X和关于Y的边缘分布律，其中

p_i·=Σ_jpij（i=1，2，…，m或i=1，2，…），

p·j=Σ_ipij（j=1，2，…，n或j=1，2，…）.

4.二维离散型随机变量的条件分布律设（X，Y）是二维离散型随机变量，它的分布律及边缘分布律分别为P（X=x_i，Y=y_j）=p_ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n或者i，j=1，2，…），P（X=x_i）=p_i·（i=1，2，…，m或者i=1，2，…），P（Y=y_j）=p·j（j=1，2，…，n或者j=1，2，…），

可以用表表示为

或者

则当p·j≠0时，称

为在条件Y=y_j下X的条件分布律；当p_i·≠0时，称

为在条件X=x_i下Y的条件分布律.

【典型例题】

例7.9.1 设随机变量T～U[-2，2]，记

求二维随机变量（X，Y）的分布律.

精解 X，Y都只取-1与1两个值，所以（X，Y）全部可能取的值有四对：（-1，-1），（-1，1），（1，-1）以及（1，1），并且，P（X=-1，Y=1）=P（T≤-1，T>1）=P（Φ）=0，，，

所以（X，Y）的分布律为

例7.9.2 将两封信等可能地投入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个邮箱中，记X，Y分别为投入Ⅰ号与Ⅱ号邮箱中信的数目，求二维随机变量（X，Y）的分布律与关于X的边缘分布律.

精解 X与Y可能取的值都为0，1，2，所以（X，Y）全部可能取的值为（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），并且

P（X=2，Y=1）=P{X=2，Y=2}=P（Φ）=0.

因此，（X，Y）分布律列表如下：

由上表可得关于X的边缘分布律为

即

例7.9.3 设二维随机变量（X，Y）的分布律为

且，求：

（1）常数a，b的值；

（2）求关于Y的边缘分布律；

（3）在Y=2的条件下，X的条件分布律.

精解 （1）利用分布律的性质与计算a，b的值.

由分布律的性质知，即（1）

此外，由得，即

将它代入式（1）得

（2）由（1）的计算知（X，Y）的分布律为

于是，（X，Y）关于Y的边缘分布律为

即

（3）在Y=2的条件下，X的条件概率分布律为

例7.9.4 设随机变量X，Y的分布律如下：

，

且P（XY=0）=1，求二维随机变量（X，Y）的分布律及在条件Y=0下X的分布律.

精解 先计算（X，Y）的分布律，设其为

由P（XY=0）=1得

p-10+p00+p01+p10=1，

于是由分布律的性质知p_-11+p₁₁=0，即p_-11=p₁₁=0.

由表可知，，，并由得p₀₀=0.因此（X，Y）的分布律

及边缘分布律为

下面计算条件分布律P（X=iY=0）（i=-1，0，1）：