练习题七
1.单项选择题
（1）设A，B，C是事件，且P（AB-C）=0，0<P（C）<1，则必有（ ）.
A.P（A∪BC）=P（A∪B）B.
C.P（A∪BC）=P（AC）+P（BC）D.
（2）设A，B，C是事件，且P（AB）=P（A）P（B），0<P（B）<1，0<P（C）<1，则必有（ ）.
A.P（ABC）=P（AC）P（BC）B.
C.
D.
（3）设A1，A2，B是事件，且P（B）>0，A1A2=，则下列命题中不正确的是（ ）.
A.P（A1∪A2B）=P（A1B）+P（A2B）B.P（A1A2B）=
C.
D.
（4）设A，B，C是相互独立事件，且0<P（C）<1，AC≠，则下列4组事件中不独立的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（5）设A1，A2，B都是事件，且0<P（B）<1及P（A1∪A2B）=P（A1B）+P（A2B），则（ ）.
A.
B.
C.P（A1∪A2）=P（A1B）+P（A2B）D.P（B）=P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）
（6）袋中有7个乒乓球，其中2个黄球3个白球及2个黑球，今有两个人依次随机各取一球，取后不放回，则第二个人取到黄球的概率与第二个人才取到白球的概率分别为（ ）.
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
（7）已知A，B是相互独立的事件，
，
，则P（A）=（ ）.
A.
B.
C.
D.1
（8）已知A，B是事件，满足P（A）=0.4，P（AB）=0.2，P（AB）=P（AB），则P（A∪B）=（）.
A.0，2 B.0.5 C.0.7 D.0.9
（9）欲使f（x）=cosx，x∈[a，b]，
{0，其他为随机变量X的概率密度，则[a，b]应为（ ）.
A.
B.
C.[0，π]D.
（10）设F（x）是连续型随机变量X的分布函数，f（x）是X的概率密度，已知X与-X有相同的概率分布，则
A.F（x）=F（-x） B.F（x）=-F（x）
C.f（x）=f（-x） D.f（x）=-f（x）
（11）随机变量Y=aX+b（a≠0）与随机变量X服从同一名称的分布，则X服从（ ）.
A.二项分布 B.泊松分布 C.正态分布 D.指数分布
（12）设对任意常数a，b（a<b），随机变量X满足
P（X>a）=1-α，P（X≤b）=1-β，则P（a<X≤b）=p满足（ ）.
A.p=1-（α+β） B.p≥α+β
C.p>1-（α+β） D.p<α+β
（13）设Z为连续型随机变量，其分布函数为FZ（z），X～U[0，1]，则随机变量Y=FZ-1（X）的分布函数为（ ）.
A.FZ-1（y） B.FZ（y） C.1-FZ-1（y） D.1-FZ（y）
（14）设随机变量X～B（2，p），Y～B（3，p），若
，则P（Y≥1）=（ ）.
A.
B.
C.
D.
（15）设随机变量X～E（λ），则概率
A.
B.
C.
D.
（16）一边长为1的正方体容器盛有
的液体.设一个小孔出现在容器的六个侧面的任
何一个部位都是等可能的.现容器侧面出现一个小孔，液体经此小孔流出，最后剩余液体的液面高度X是一个随机变量，则其分布函数F（x）是（ ）.
A.连续型的 B.恰好有两个间断点
C.离散型的 D.恰好有一个间断点
（17）设随机变量X～N（μ，σ2），且以y为未知数的二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为
，则μ=（ ）.
A.0 B.1 C.2 D.4
（18）设随机变量X～N（μ，σ2），则概率P（X≤1+μ）（ ）.
A.随μ的增大而变大 B.随μ的增大而变小
C.随σ的增大而变大 D.随σ的增大而变小
（19）设随机变量X与Y相互独立，且
，
，则二次方程t2+2Xt+Y=0有相同实根的概率为（ ）.
A.
B.
C.
D.
（20）设随机变量X与Y相互独立，且X～N（0，1），Y～N（1，1），则（）.
A.
B.
C.
D.
（21）设随机变量X，Y满足P（X≥0，Y≥0）=3
7，
，则P（max{X，Y}≥0）=（ ）.
A.
B.
C.
D.
（22）设二维随机变量（X，Y）～N（0，0，1，1，0），则概率
A.
B.
C.
D.
（23）设二维随机变量（X，Y）在D={（x，y）0≤x≤1，0≤y≤1}上服从均匀分布，则（ ）.
A.E
B.E（XY）=EX·EY
C.E（XY）=2EX·EY D.E（XY）=4EX·EY
（24）设X，Y都是随机变量，则D（X-2Y）=（ ）.
A.DX+4DY B.DX-4DY
C.DX+4DY-4Cov（X，Y） D.DX+DY+4Cov（X，Y）
（25）设随机变量X与Y相互独立，且EX=EY=0，DX=DY=1，则E（X+Y+1）2=（ ）.
（26）设二维随机变量（ξ，η）的概率密度为
，则随机变量
的概率密度φ（z）为（ ）.
A.
，B.
C.
D.
（27）设随机变量X～π（λ），且E（（X-1）（X-2））=1，则参数λ=（ ）.
A.-2 B.-1 C.1 D.2
（28）现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，今从中任取3张，则所得奖金的数学期望为（ ）.
A.6 B.12 C.7.8 D.9
（29）设二维随机变量（X，Y）服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关的充分必要条件为（ ）.
A.EX=EY B.EX2-（EX）2=EY2-（EY）2
C.EX2=EY2 D.EX2+（EX）2=EY2+（EY）2
2.解答题
（1）在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，计算在两个回合中，乙机被击落的概率.
（2）袋中有4枚正品匀质硬币，2枚次品匀质硬币（次品硬币两面均印有国徽）.在袋中任取一枚，将它投掷3次，已知每次都出现国徽，求此硬币是正品的概率.
（3）有10个相同的罐子，其中，有3个罐子中都装有1个黑球和1个红球，有6个罐子中都装有2个黑球和2个红球，有1个罐子中装有1个黑球和9个红球，现任取一个罐子，再从这个罐子中任取一球，结果发现取出的是红球.
（ⅰ）求此球是从装有10个球的罐子中取出的概率；
（ⅱ）此球最有可能是从装有几个球的罐子中取出的？
（4）设随机变量X的概率密度为
求常数A和X的分布函数F（x）.
（5）考虑关于t的一元二次方程t2+Xt+Y=0，其中X，Y分别是将一颗骰子接连投掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.
（6）已知随机变量X的分布律为
，求随机变量Y=1+（-
1）X的分布律及分布函数F（y）.
（7）设随机变量X的概率密度为
求随机变量
的概率密度fY（y）.
（8）设随机变量X的分布函数为
，求Y=X2的分布函数FY（y）.
（9）设某设备开机后无故障工作时间X服从参数为
的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2h便自动关机.求该设备每次开机无故障工作时间Y的分布函数.
（10）设随机变量X与Y相互独立，且都服从U[0，3]，求概率P（max{X，Y}）≤1）.
（11）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求：（ⅰ）（X，Y）的分布函数F（x，y）；
（ⅱ）在Y=y（0≤y≤2）的条件下，关于X的条件概率密度φXY（xy）.
（12）设平面区域D是曲线
，直线y=0，x=1，x=e2围成的，二维随机变量（X，
Y）在D上服从均匀分布，求Y在X=2条件下的条件概率密度fYX（y2）.
（13）设随机变量X与Y有相同的概率分布
并且满足P（XY=0）=1，求概率P（X2=Y2）与P（Y·<X2）.
（14）设独立重复试验中，每次成功的概率为p（0<p<1），X表示第一次成功之前失败的次数，Y表示前两次成功之间失败的次数，求二维随机变量（X，Y）的分布律，并问X与Y是否独立.
（15）设盒中有5个产品，其中有2个次品，现无放回地逐个检验，求：
（ⅰ）检验出第i个次品所需的检验次数Xi的分布律（i=1，2）；
（ⅱ）二维随机变量（X1，X2）的分布律.
（16）设随机变量X的概率密度为
令Y=X2，F（x，y）是二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：
（ⅰ）Y的分布函数FY（y）；
（ⅱ）F（1，4）的值.
（17）设二维随机变量（X，Y）的概率密度
求：（ⅰ）概率P（X≥2Y）；
（ⅱ）随机变量Z=X-Y的概率密度fZ（z）.
（18）设随机变量X与Y相互独立，X的分布律为
，Y的
概率密度为
，记Z=X+Y，求：
（ⅰ）概率
；
（ⅱ）随机变量Z的概率密度fZ（z）.
（19）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求随机变量Z=X+2Y的概率密度fZ（z）.
（20）设随机变量X的概率密度
且EX=2，
，求常数a，b，c的值及随机变量Y=eX的数学期望EY.
（21）设随机变量（X，Y）在D={（x，y）0<x<1，0<y<x}上服从均匀分布，求Cov（X，Y）.
（22）设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为λ的泊松分布，求随机变量U=2X+Y，V=2X-3Y的相关系数.
（23）设随机变量X～U[-π，π]，记Y=min{X，1}，求随机变量Y的数学期望与方差.
（24）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品的件数分别为80，10，10.现从中随机抽取一件，记
i=1，2.求随机变量X1与X2的相关系数ρ.
（25）某餐厅每天接待400名顾客.设每位顾客的消费额（元）在区间[20，100]上服从均匀分布，且顾客的消费是相互独立的.
（ⅰ）求该餐厅的日平均营业额；
（ⅱ）利用独立同分布中心极限定理求日营业额在平均营业额上下不超过760（元）的概率.