多元连续函数在有界闭区域上最值的计算
【主要内容】
1.二元情形
设二元函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则它在D上必能取到最大值与最小值，当f（x，y）还在D的内部可微时，则最大值与最小值可按以下步骤计算：
（1）计算f（x，y）在D的内部的所有可能极值点，记为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）.
（2）计算f（x，y）在D的边界上的最大值与最小值，分别记为M1，m1，其中M1，m1可以把边界方程代入f（x，y）转化成一元函数最值问题计算，也可以把边界方程作约束条件，用拉格朗日乘数法计算.
（3）比较f（x1，y1），f（x2，y2），…，f（xn，yn），M1，m1，其中最大者即为f（x，y）在D上的最大值，最小者即为f（x，y）在D上的最小值.
2.三元情形
设三元函数f（x，y，z）在有界闭区域Ω上连续，则它在Ω上必能取到最大值与最小值，当f（x，y，z）在Ω内部可微时，其最大值与最小值的计算方法与二元情形相同.
【典型例题】
例3.7.1求二元函数f（x，y）=x2+2y2-x2y2在闭区域D={（x，y）|x2+y2≤4，y≥0}上的最大值与最小值.
精解 先计算f（x，y）在D内部{（x，y）|x2+y2<4，y>0}的所有可能极值点.
解方程组
即
得
，y=1，所以f（x，y）在D的内部的所有
可能极值点为
，
下面计算f（x，y）在D的边界C上的最值.边界C由C1：x2+y2=4（-2≤x≤2，y≥0）和C2：y=0（-2≤x≤2）组成.在C1上，f（x，y）=x2+2（4-x2）-x2（4-x2）
，
所以f（x，y）在C1上的最大值为8（即
在x=0处的值），最小值为
在
在C2上，f（x，y）=x2（-2≤x≤2），所以f（x，y）在C2上的最大值为4，最小值为0.
由此可知，f（x，y）在C上的最大值为8，最小值为0.
由于
，
，8，0，即2，2，8，0中最大者为8，最小者为0，所以，
f（x，y）在D上的最大值为8，最小值为0.
例3.7.2 求二元函数f（x，y）=3x2+3y2-x3在有界闭区域D={（x+y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}上的最大值与最小值.
精解 先计算f（x，y）在D内部{（x，y）|x+y<1，x>0，y>0}的可能极值点.解方程组
即{
得x=0，y=0；x=2，y=0，故f（x，y）的可能极值点为（0，0）和（2，0）.显然它们都不在D的内部，即在D的内部f（x，y）无可能极值点.
下面计算f（x，y）在D的边界C上的最值，显然它的最大值、最小值即为f（x，y）在D上的最大值、最小值.
边界C由三部分组成，即Ⅰ：x+y=1（0≤x≤1）；Ⅱ：y=0（0≤x≤1）；Ⅲ：x=0（0≤y≤1）.
在Ⅰ上，y=1-x，所以
由于φ′（x）=-6+12x-3x2=-3（x2-4x+2）在（0，1）内有唯一实根
，所以φ（x）
在[0，1]上的最大值为max
，
，最小值
为
，φ（0），
在Ⅱ上，y=0，所以
由于φ1′（x）=6x-3x2=3x（2-x）>0（0<x<1），所以φ1（x）在[0，1]上的最大值为φ1（1）=2，最小值为φ1（0）=0.
在Ⅲ上，x=0，所以
显然，φ2（y）在[0，1]上的最大值为φ2（1）=3，最小值为φ2（0）=0.
综上所述，f（x，y）在C上的最大值为max{3，2，3}=3，最小值为
，
0}=0.从而f（x，y）在D上的最大值为3，最小值为0.
例3.7.3 求二元函数f（x，y）=x2+y2在闭区域
上的最大值与最小值.
精解 先计算f（x，y）在D的内部
的极值点.
解方程组
即
得x=y=0，所以f（x，y）在D的内部有唯一的可能极值点
（0，0）.下面计算f（x，y）在D的边界C：
上的最值，应用拉格朗日乘
数法：记
，则
于是方程组
即为
由式（1）和式（2）知x=y，将它代入式（3）得
，
，即f（x，y）在C上有两个可
能极值点
，
由于
，
所以，f（x，y）在C上的最大值为25，最小值为1.从而f（x，y）在D上的
最大值=max{f（0，0），25}=max{0，25}=25，
最小值=min{f（0，0），1}=min{0，1}=0.
例3.7.4 求三元函数u=x2+2y2+3z2在闭区域Ω={（x，y，z）|x2+y2+z2≤100}上的最值.
精解 先计算u在Ω内部{（x，y，z）|x2+y2+z2<100}的所有可能极值点.
解方程组
即
得x=y=z=0，所以u在Ω内部有唯一的可能极值点（0，0，0）.
下面应用拉格朗日乘数法计算u在Ω的边界S：x2+y2+z2=100上的最值.
由于在S上u=x2+2y2+3z2=100+y2+2z2，所以，u在S上的最大值与最小值即为φ（y，z）=100+y2+2z2在yOz平面上闭区域D={（x，y）|y2+z2≤100}上的最大值与最小值.
先计算φ（y，z）在D的内部{（y，z）|y2+z2<100}的所有可能极值点.
解方程组
即
得y=z=0，所以φ（y，z）在D内部有唯一可能的极值点（0，0）.
再计算φ（y，z）在D的边界C：y2+z2=100上的最值.
在C上，φ（y，z）=100+（y2+z2）+z2=200+z2（-10≤z≤10），显然它的最大值为300，最小值为200.
因此，φ（y，z）在D上的最大值=max{φ（0，0），300}=max{100，300}=300，最小值=min{100，200}=100.从而u在Ω上的最大值与最小值分别为300与0.