练习题一解答

练习题一解答

1.单项选择题

（1）D （2）B （3）B （4）D （5）C （6）D （7）A （8）B （9）D （10）C （11）B （12）A （13）C （14）B （15）C （16）B （17）A （18）D （19）B （20）D （21）B （22）D （23）D

2.解答题

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）由

得

（8）由于

所以

（9）由于

所以，x→0时，α（x）是x的三阶无穷小.

（10）记，从而

（11）

（12）由题设知，从而，由此得因此

（13）x=-1是f（x）的第二类间断点（无穷间断点）；

x=1是f（x）的第一类间断点（可去间断点）；

x=0是f（x）的第一类间断点（跳跃间断点）.

（14）记y₁=x^sinx，则由lny₁=sinx·lnx得，所以，

记y₂=2^tan2x，则由lny₂=tan²x·ln2得，所以，y₂′=2ln2·2^tan2xtanx·sec²x.

因此，

（15）y（4）=（xe^x·sinx）（4）=xe^x（sinx）（4）+C₄¹（xe^x）′（sinx）‴+C₄²（xe^x）″（sinx）″+

C₄³（xe^x）‴（sinx）′+（xe^x）（4）sinx

=xe^xsinx-4（x+1）e^xcosx-6（x+2）e^xsinx+4（x+3）e^xcosx+

（x+4）e^xsinx.

=-4（x+2）e^xsinx+8e^xcosx.

（16）由于，，所以e^2c=e，即

（17）f（n）（x）=（x+n）e^x，f（n+1）（x）=（x+n+1）e^x，f（n+2）（x）=（x+n+2）e^x，由f^（n+1）（x）=0得x=-n-1.所以，f^（n+2）（-n-1）=e^-n-1>0，所以f（n）（x）的极小值为f^（n）（-n-1）=-e^-n-1.

（18）x<0时，f′（x）=6（x+x²）；x>0时，，此外f（x）在x=0处不

可导.于是

方程f″（x）=0仅有根，且当时，f″（x）<0；当时，f″（x）>0.

所以f′（x）有极小值

（19）记，则它在（0，1）内可导且

记，它在（0，1）内可导且，

所以，对x∈（0，1），，从而f′（x）<0.因此，即

（20）记，则它在（0，+∞）上可导且

即f（x）在（0，+∞）上的最大值为k.于是，当k<0时，方程无实根；当k=0

时，方程仅有一个实根；当k>0时，注意到lim

x，

知方程有两个实根.

（21）作辅助函数F（x）=x²f（x），则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）（=0），所以，存在ξ∈（0，1），使得F′（ξ）=0，即ξf′（ξ）+2f（ξ）=0.

（22）由于bⁿ-aⁿ=nη^n-1（b-a）（η∈（a，b））.

bⁿ_-an=bnf（b）-aⁿf（a）=[xⁿf（x）]′|_x=ξ（b-a）

=[nξ^n-1f（ξ）+ξⁿf′（ξ）]（b-a），ξ∈（a，b）.

所以，nη^n-1=nξ^n-1f（ξ）+ξⁿf′（ξ），即