正态总体样本的常用统计量及其分布

二 、正态总体样本的常用统计量及其分布

【主要内容】

1.一个正态总体情形

设总体X～N（μ，σ²）（此时简称X是正态总体），X₁，X₂，…，X_n是来自X的一个简单随机样本，其均值为，方差为S²，则有关统计量及其分布如下：

（1），即，并且与S²相互独立.

（2）

（3）

2.两个正态总体情形

设总体X～N（μ₁，σ₁²），Y～N（μ₂，σ₂²），它们相互独立.X₁，X₂，…，X_n1和Y₁，Y₂，…，Yn₂分别是来自总体X和Y的简单随机样本，它们的均值分别为X和，方差分别为S₁²和S₂²，则有关统计量及其分布如下：

（1）

（2）

（3）当σ₁=σ₂时，，其中S_w²=

【典型例题】

例8.2.1 （单项选择题）设X₁，X₂，…，X₉是来自总体X～N（μ，σ²）的简单随机样本.记，则随机变量，分别服从（ ）.A.χ²（9），t（2）B.χ²（7），t（3）C.χ²（7），t（2）D.χ²（9），t（3）

精解 先考虑Z1.

由于随机变量，且它们相互独立，所以由χ²分布的性质得

下面考虑Z2.

由随机变量，且它们相互独立知，

所以.由上已知此外，与相互独立（这是由于Y₁与S₂²相互独立，Y₂与S₂²相互独立，所以与相互独立），所以由t分布的定义得

因此本题选C.

例8.2.2 设X₁，X₂，X₃，X₄是来自正态总体X～N（0，2²）的简单随机样本.记Z=a（X₁-2X₂）2+b（3X₃-4X₄）2，求参数a，b（a>0，b>0）的值，使得Z服从χ²分布，并求这个χ²分布的自由度.

精解 记，要使Z服从χ²分布，必须使Z₁，

Z₂～N（0，1），从而a，b应满足即

由此得到a（4+4×4）=1，即；b（9×4+16×4）=1，即

此时，Z=Z₁²+Z₂²，其中，N（0，1），且Z₁与Z₂相互独立，所以Z服从自由度为2的χ²分布.

例8.2.3 设X₁，X₂是来自总体X～N（0，1）的一个简单随机样本.

（1）证明：随机变量，并求概率P（Y≤39.86）；

（2）已知概率，求常数c.

精解 （1）记Y₁=X₁+X₂，Y₂=X₁-X₂，则Y₁，Y₂都服从N（0，2），所以和都服从χ²（1）.

此外，由Cov（Y₁，Y₂）=Cov（X₁+X₂，X₁-X₂）=Cov（X₁，X₁）-Cov（X₂，X₂）=DX₁-DX₂=1-1=0

知Y₁与Y₂相互独立，即与相互独立.于是由F分布的定义得证

查表

由此可得P（Y≤39.86）=1-P（Y>39.86）1-0.10=0.90.

（2）由于

所以由题设得，查F（1，1）分布表得，所以c=0.97.

例8.2.4 设总体X～N（μ₁，σ²），Y～N（μ₂，σ²），它们相互独立.又设X₁，X₂，…，X_n1和Y₁，Y₂，…，Y_n2分别是来自X和Y的简单随机样本，记

求EZ和DZ.

精解 由两个正态情形的样本统计量的分布知，

所以