积分和式极限的计算

十 、积分和式极限的计算

【主要内容】

设函数f（x）在[a，b]上有定义，则称极限

为f（x）在[a，b]上的积分和式极限为f（x）在[a，b]上的积分

和式

当f（x）在[a，b]上连续时，

【典型例题】

例2.10.1 （单项选择题）下列等式中不正确的是（）.

A.B.

C.D.

精解 由于是函数x²在[0，1]上的积分和式把[0，1]等分成n个小区间，i=1，2，…，n，其中，x₀=0，x_n=1.在每个小区间上任取的点；由于是函数x²在[0，1]上的积分和式把[0，1]等分成2n个

小区间，i=1，2，…，2n，其中，x₀=0，x_2n=1，在每个小区间上任取的

点；由于是函数x²在[0，1]上的积分和式把[0，1]

等分成n个小区间，i=1，2，…，n，其中，x₀=0，x_n=1，在每个小区间

上任取点，所以选项A，B，C都正确.

因此本题选D.

例2.10.2 计算下列和式极限：

（1）；

（2）.

精解 （1）由于是函数x^p在[0，1]上的积分和式，所以

（2）由于是函数1+cosπx在[0，1]上的积分和式，所以，

例2.10.3 计算极限

精解 取对数将乘积转换成和式：

显然，上式右边是函数xln（1+x²）在[0，1]上的积分和式，所以

因此，

例2.10.4 计算下列和式极限：

（1）

（2）

精解 （1）由于，

其中，是函数e^x在[0，1]上的积分和式；

是函数在[0，1]上的积分和式，所以

（2）由于

其中，是函数在[0，1]上的积分和式，是函数在[0，

1]上的积分和式，所以

例2.10.5 求和式极限

精解 记，它不是某个函数的积分和式，现对它作适当

的缩小与放大：

显然，是函数2^x在[0，1]上的积分和式，所以，

并且，

因此，由数列极限存在准则Ⅰ得