练习题四解答

练习题四解答

一、单项选择题

（1）B （2）D （3）D （4）A （5）D （6）B

（7）D （8）B （9）B （10）C （11）C

（12）A （13）C （14）B （15）C （16）B

（17）D （18）C （19）A （20）A （21）C

二、解答题

（1）通解为

（2）令，则所给微分方程成为

它的通解为

所以原微分方程的通解为

（3）将所给微分方程改写成

令，则有，即

所以，因此原微分方程的通解为

（4）令z=y²，则所给微分方程成为

它的通解为

所以原微分方程的通解为

（5）将微分方程改写成，即

它的通解为

（6）令p=y′，则所给微分方程成为，

所以p=C₁（3x²+2），即.因此y=C₁x³+2C₁x+C2.

要使x→0时y与e^x-1是等价无穷小，必须满足，C₂=0.所以所求的解为

（7）将所给微分方程改写成

上式两边对x求导得，即y′-y=e^xy².

记，则上述微分方程成为u′+u=-e^x，它的通解为

由得所以，从而

（8）所给等式可化简为

两边对x求导得y′=y²，所以将y（0）=1代入得C=1.所以所求的

（9）所给微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程是r²+4=0其根为-2i，2i，所以其通解为Y=C₁cos2x+C₂sin2x.根据微分方程右边的函数知，所给微分方程应有特解

y∗=（a₀+a₁x+a₂x²）+x（b₁cos2x+b₂sin2x）+（c₁cosx+c₂sinx）.

将它代入所给微分方程得，，，，c2=0.

所以，因此通解为

（10）所给微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程是r²+a²=0，其特征根为ia，-ia，所以，它的通解为Y=C₁cosax+C₂sinax.

当a≠1时，原微分方程有特解y∗=Acosx+Bsinx.将它代入原微分方程得

所以从而原微分方程的通解为

当a=1时，原微分方程有特解y∗=x（A₁cosx+B₁sinx），将它代入原微分方程得

所以从而原微分方程的通解为

（11）由于原式

所以

（12）

（13）所给级数都为正项级数.

记，则lim所

以发散.记，则，且收敛，所以收敛.

（14）（ⅰ）由于，

其中发散.对于交错级数

n，记f，则由知数列单调减少，且所以由莱布尼茨定理知收敛.从而发散.

（ⅱ）记，则由（当x充分大时）

可认为数列单调减少，且，所以由莱布尼茨定理知收敛.此外发散.所以条件收敛.

（15）记，则，即从而，即收敛半径R=1.

当x=1时，所给幂级数成为，它是发散的.

当x=-1时，所给幂级数成为（交错级数），由于{u_n}单调减少且收敛于零，

所以该级数收敛.

从而所给幂级数的收敛域为[-1，1）.

（16）记，则

所以收敛区间为

当时，所给的幂级数分别成为级数

和

由莱布尼茨定理知它们都是收敛的，因此所给幂级数的收敛域为

记和函数为s（x），即

在内，，所以

（17）

（ⅱ）

其中，为了计算

考虑，

所以

将它们代入式（1）得

（18）

（ⅱ）

（19）由于 f（0）=0，f′（x）=arctanx，f′（0）=0，，

所以