不定积分的换元积分法
【主要内容】
1.不定积分的概念
函数f（x）在区间I上的原函数全体F（x）+C（其中，F（x）是f（x）的一个原函数，即F′（x）=f（x），C是任意常数），称为f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx.
不定积分的计算主要依靠不定积分的基本公式、基本性质及基本运算方法.
基本公式
（1）
，
（2）
，
（3）
，
（4）
，
（5）
，
（6）
，
（7）
，
（8）
，
（9）
，特别地，
，
（10）
，
（11）
，
（12）
，
此外，还有
（13）
，
（14）
（15）
（16）
基本性质
设函数f（x），g（x）的原函数存在，k为常数，则
（1）
（2）
（3）
（4）
基本运算方法
（1）换元积分法；
（2）分部积分法（放到下一节讲）.
2.不定积分的换元积分法
换元积分法就是通过适当的变量代换（简称换元），将要求的不定积分转换成基本公式中的不定积分，从而算出要求的不定积分，即
或者
如果以上两式中右边的不定积分都是基本公式中的不定积分，则由此算出左边要求的不定积分.
注 用换元积分法计算不定积分
时，采用什么样的变量代换，应视具体情况而
定，但以下两点值得注意：
（ⅰ）如果f（x）是一个分式，而分母比较复杂，为去掉分母中的某些因子，或将分母中的某些因子移到分子中去，使分母变得简单些，可使用变量代换
（ⅱ）如果f（x）中含有根式，则作变量代换将根式去掉，例如，
当f（x）中含有
是大于1的正整数）时，可令
当f（x）中含有
都是大于1的正整数）时，可令
，其
中，k是m，n的最小公倍数；
当f（x）中含有
（其中a，c都不为零，且ad≠bc，n是大于1的正整数）时，可令
当f（x）中含有
时，分别令x=asint，x=atant，x=asect.
【典型例题】
例2.1.1 求不定积分
精解 由于
，所以
例2.1.2 求不定积分
精解
，（1）
其中，
，
将它们代入式（1）得
例2.1.3 求不定积分
精解 由于被积函数中含有
，所以令x=sect.
其中
，
可从图2.1.3得到.
注 由于本题被积函数分母比较复杂，所以也考虑令母中的x这个因子去掉，具体如下：
，将其变得简单些，例如将分
图 2.1.3
例2.1.4 求不定积分
精解 由于
，即被积函数中含根式
，所以令
，即
，于是有
注 本题也可以用如下的变量代换求解：
图 2.1.4
例2.1.5 求不定积分
精解 由于被积函数中含有
，所以令
，即
于是有
