§2　感觉强度定律的数学表达

现在，我们有了通过最小可觉差，由弱到强，一步一步测定感觉强度的方法。然而在实践中，这种方法将极为冗长乏味。直接的观察将具有更为简捷的优势。因此，问题在于我们是否能发现某种更为简便的方法，使得我们可以从克一步到达1克，而不是像上面那样，使用不少于14个中间步骤。对这一问题的回答或许是肯定的，就像对存在于感觉和刺激之间的依赖关系作进一步的考虑所令我们信服的那样。

感觉和刺激是相互依赖的量度。两者都可以用数字来表达。代表感觉的数值随着刺激数值的增加而增加。在这种条件下，最简单的关系莫过于此：相应于以数值1、2、3等表达的刺激，存在着不同的感觉，这些感觉同样可以用这些数值来表达。因此我们可以说，感觉强度同刺激强度成正比关系。然而，这种简单的关系并不总是成立，实际上，刺激的增长远远快于感觉的增长。当然，数值之间有数不尽的依存形式。在那些依存形式里，一个数值系列的增长远远快于另外一个系列。例如，如果我们把每一个数值乘上它自身，我们就从这个数值系列获得了1、2、3、4……和另一个数值系列1、4、9、16……等等。第一个数值系列是第二个数值系列的平方根；后者是前者的平方或者称为二次幂。因此，如果这两个数值系列表达的是刺激和感觉的关系，感觉就等于刺激的平方根。类似的数值系列仅有的不同在于增加得更为迅速。只要通过乘以其自身两次或三次，因而得到了它的三次幂或四次幂，我们就可以得到这样的数值系列。如果任意一个数值系列表达了刺激增长的速率，那么感觉就等于刺激的三次或四次平方根。但是感觉的增长既不像平方根、立方根，也不像刺激强度的其他任何根，因为引发确定的感觉强度增强的刺激增长量同整个的刺激量度是一个常定比率。因此，既然刺激的相对增长量总是相等的，代表着刺激的数值系列的增长必须是一个常数。在上述引用的数值系列中并没有这种情况。例如，在数值系列1、4、9、16……中，数字的增强依次表现为3、5、7，而这些数值的增长涉及的是1、4、9，它们的比率，即、、并不相等。如果这些例子实际上同感觉定律是一致的，那么我们就必然获得、、等等这样一些分数或其他一些结果。但是二次幂、三次幂或其他任何次数的幂能表达这样的数值系列。

另一方面，存在着另一种应用更为广泛的数量关系。这种数量关系同刺激和反应之间的关系是一致的。

如果我们看一看普通对数表，我们会发现表中的数字呈现两个纵列：一个纵列包含普通数值，另外一列是对数。我们立刻可以看出，对数的增长比普通数值的增长更为缓慢。这一点颇像感觉量度的增长比刺激量度的增长更为缓慢一样。例如，如果在这一列中是数值1，则它的对数就是0；10的对数是1；100的对数是2等等。在这里，就数值和它们的对数来说，我们有了两个数值系列，这两个数值系列的增长呈现完全不同的方式。如果我们再进一步地观察，我们会发现对数缓慢增长和感觉缓慢增强之间的类似性并非仅仅是一种外在的类似。1、10、100、1000的对数是0、1、2、3。那些数值同它们的量度之间的关系怎样呢？从1增长到10，增加了9个单位；从10增长到100，增加了90个单位；从100增长到1000，增加了900个单位。因此，增长的比率是、、。但是这些比率都是相等的，即都等于9。这种增长方式恰恰是感觉增长的定律。当刺激的每一次增长同特定的整个刺激量度成常数关系时，感觉的增长呈相同的量度；当数值的每一次增长同相应的数值量度总是呈同样的比率时，对数的增长也呈同样的量度。因此，我们可以说，当刺激的增长作为数值时，感觉的增长就是这些数值的对数。或者更简洁地说，既然我们可以用确定的数值表示任何刺激的量度，那么感觉是作为刺激的对数而增长的。

对数表自然在心理学发现它的用处之前很久就已经在使用了。的确，感觉对刺激依存关系的表现方式仅仅是一种非常简单的关系的表现方式，这种表现方式在普通量度的依存关系的表达方式中是较为频繁的。例如，对数0、1、2、3以同等的量1区别于它的相邻数字；而相应的数值1、10、100、1000以10倍的数值而相互区别。但是如果这是我们求对数时的惟一规则，那么这个过程将十分枯燥。幸运的是，事情现在已经很简单了。如果我们把一个数字乘到它的全部可能的幂，当然我们也可以从乘的结果中得到另一个数字系列。因此，我们有了101=10，102=100，103=1000。很清楚，通过把一个数乘以其所有可能的幂，我们可以获得任何数值。如果我们以1、1、1作为10的幂，结果我们就获得了位于10和100之间的数值；如果我们以2、2、2作为10的幂，我们就可以得到位于100和1000之间的数值等等。同样，为了获得比10小的数值，我们就不能乘数字10，而是除上它自身许多次。我们必须像数学家说的那样，把它乘上负幂。因此，我们有了10-1=、10-2=、10-3=等等。但是，在101和10-1之间是100或101-1，即1。如果我们采用这些负幂的中介分数，就可以得到所有可能的分数数值。同时，从幂0到1之间得到的所有数值都处于1到10之间。因此，仅仅通过乘以单个数值10的所有的幂，我们获得了所有可能的数值。现在，如果我们把幂数0、1、2、3同相应的数值1、10、100、1000进行比较，我们可以看到，后者相互之间的比率与这些数值同它们的对数的比例是相同的。当来自于乘方的数值以同样的倍数增加时，前者也增加同样的增量。因此，幂的指数只不过是我们通过乘方过程获得的数值的对数。现在我们可以这样来表述感觉的定律了：感觉同刺激的关系有如指数同产生于乘方的数值那样的关系。