小学数学概念的学习
1．数学概念的含义
（1）概念是反映事物本质属性的思维形式。数学概念是客观世界中数量关系和空间形式的本质属性在人们头脑中的反映，它是用数学语言和符号揭示事物本质属性的思维形式。
（2）概念的构成：数学概念一般由名称、定义、例证、属性组成。
名称就是用语词或符号来给概念命名，如方程、圆、小数、分数等分别是一些具体数学概念的特定名称。
定义就是用特定的词语（或符号）对数学概念的内涵和外延作出科学的规定，如“含有未知数的等式叫做方程”就是概念“方程”的定义。需指出的是数学中有的概念是原名，无需给出定义，如：点、线、集合等概念。另外，在小学（特别是低年级）阶段，许多数学概念（如小数、圆、圆柱体、圆锥体）教材并未给出定义，而是通过直接给出概念的一系列正、反例证，从中概括出这些概念的本质属性和名称，让学生获得初级概念。这是教材编写者考虑到小学生的认知发展水平所做出的特殊处理。它们的定义会到中学时相继介绍。
例证是指反映一类数学对象本质属性的具体事物。既有肯定例证，又有否定例证，一切包含概念的共同关键特征的事物叫做肯定例证，反之就是概念的否定例证。
数学概念的属性是指概念的一切肯定例证所具有的共同本质特征，即通常所指的概念的内涵。如“含有未知数”、“等式”是方程的属性，至于方程中用什么字母表示未知数、所含未知数的个数、未知数在方程中的位置都是无关属性。
（3）数学概念的学习：数学概念是用特定的数学语言和符号，以最概括、最简约的方式反映一类数量关系和空间形式共同本质属性的思维形式，所以，数学概念的学习实质就是学生认识、理解同类数量关系或空间形式共同特征心理过程。
2．小学数学概念学习的基本形式
数学概念的学习一般由两种形式：一是概念的形成，二是概念同化。
（1）数学概念的形成
所谓概念形成是指在教学的条件下，从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，再通过具体的例子对所发现的属性进行检验，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。概念形成过程可概括如下：
①观察实例。这些例子可以是学生在日常生活中的经验或事实，也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。关键在于通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。例如，形成矩形概念，让学生观察桌面、墙壁、黑板、书本等的表面。
②分化各种属性。对所呈现实例的各个属性予以分化。例如，桌面是木制的，可看成是四边形，两组对边分别平行并且相等，四个角相等。墙壁黑板、书本表面等也有各自的属性。
③概括共同属性，并对本质属性做出假设。上例中，共同属性有：可抽象地看成平面四边形；四个角相等；两组对边分别平行并且相等；等等。共同关键属性可假设为：a．两组对边分别平行并且四个角都是直角的四边形是矩形；b．两组对边分别相等并且四个角都是直角的四边形是矩形；c．四个角都是直角的平面四边形是矩形；等等。这里，提出关键属性假设的方法是一条或几条共同属性的结合。
④确定本质属性。检验过程中，采用变式是一种有效手段。如上例中，通过变式可以发现，三个假设在各种变式中均出现，因而都可确认为本质属性。
⑤概括定义。验证了假设以后，把本质属性抽象出来，推广到同类事物，概括出概念的定义。上例中，a、b中的“四个角都是直角”与“有一个角是直角”具有从属关系，而四边形只要有“两组对边分别平行”及“一个角为直角”，那么就能推出“两组对边分别相等”和“四个角都是直角”，因此只要取前两个关键属性即可。可将矩形定义为“两组对边分别平行并且有一个角为直角的四边形”。(https://www.daowen.com)
⑥符号表示。用习惯的形式符号表示新概念。在概念学习中，形式地掌握符号而不懂得符号的本质涵义的情况是经常发生的，例如在函数的学习中，对函数的一般表达式y＝f（x）中x、y、f的意义不理解时，类似于f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）的错误是经常发生的。
（2）数学概念的同化
所谓数学概念同化，是指在课堂学习的条件下，利用学生认知结构中原有的知识经验，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性，从而使学生获得新概念。概念同化的学习过程可以分为以下几个阶段：
①揭示概念的本质属性。给出定义、名称和符号。如“二次函数”的定义为“函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数”。
②讨论特例，突出概念的本质特征。上例中可讨论的二次函数特例是：y＝ax2，y＝ax2＋c，y＝ax2＋bx等，要突出函数表达式中，自变量x的次数为二次这个关键特征。
③新旧概念联系。使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念。上例中，把二次函数与函数概念、一次函数等作比较，将其纳入函数概念体系中。
④实例辨认。辨认肯定例证和否定例证，确认新概念的本质属性，使新概念与已有认知结构中的相关概念分化。例如，让学生对下面函数进行辨认：y＝2x2＋3；y＝3x3＋2x-1；y＝2x＋52。
⑤具体运用。运用各种形式运用概念，加深对概念的理解，使有关概念融会贯通成整体结构。
在数学概念学习中，两种方式不能孤立使用，如果仅用概念形成方式学习，显然不符合学校学习的经济性原则；而仅仅用概念同化方式学习，由于数学概念的高度抽象性，学生比较难以把握概念背后的丰富内容，难以理解概念的关键属性，因此应该把两者结合起来使用。教师可以在揭示概念的定义后，引导学生在定义的指导下去观察实际事例，定义的导向可以使学生比较容易地揭示实例中包含的与概念有关的关键属性。同时，通过正例与反例的应用，通过学生自己对实例的比较、分析、概括、分化和类化等，可以使概念的关键属性变得清晰，使实例成为理解概念的一种思维载体，然后再引导学生将新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，形成概念系统。
3．APOS理论对概念学习的启示
数学概念的形成和同化被称为“学生获得概念的最基本方式”。传统的概念教学基本上是一种演绎式的教学，关注的是如何让学生记忆、辨析和运用概念，但忽视了数学概念还是具有显示背景和丰富寓意的数学过程。如何揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用等多方位理解一个数学概念需要不断探索概念学习的新方式。
美国杜宾斯基等人认为，学生学习数学概念要进行心理建构，这一建构过程要经历以下的四个阶段（以函数概念为例）：
Action（活动）阶段。理解函数需要活动或操作。例如，对y＝x2，需要用具体的数字构造对应：2→4、3→9、4→16…通过操作活动，理解函数的意义。
Process（过程）阶段。把上述的操作综合为一个函数过程。一般地有x→x2，其他各种函数也可以概括为一般的对应过程x→f（x）。
Object（对象）阶段。可以把函数过程当作一个独立的对象来处理，比如函数的加减乘除、复合运算等。
Scheme（图式）阶段。此时的函数概念，以一种综合的心理图式存在于脑海里，在数学知识体系中占有特定的地位。这一心理图式含有具体的函数实例性质、抽象的过程、完整的定义，乃至和其他概念的区别和联系（方程、曲线、图像等）。
这样，取这四个阶段英文单词的首字母，定名为APOS理论。这种理论不仅指出学生的学习过程是建构，而且表明了建构的层次。这四个步骤一般不能逾越，应当循序渐进。同时，又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段，必须升华，不断抽象和形式化，最后完成数学概念的建立。