数的运算的相关知识

二、数的运算的相关知识

1．整数四则运算概念、规则及其关系

整数四则运算的内容包括整数加、减、乘、除四则运算的定义、性质、法则和应用四部分。加、减、乘、除法的关系如下图。

图3-4　加、减、乘、除法的关系

整数加法

（1）加法定义

①定义：设A，B是两个不相交的有限集合，它们的基数分别是数a和b。如果集合A与B的并集是C，那么并集C的基数c就叫做a与b的和，求两个数的和的运算叫做加法。记作a＋b＝c。读作“a加b等于c”。a与b都叫做加数，符号“＋”叫做加号。

在小学教材中将加法描述为：把两个数合并为一个数的运算。

②几个数的和：因为并集的概念可以推广到求几个集合的并集，所以加法定义可以推广到求几个数的和。求几个数的和，即先求出第一个数与第二个数的和，再求所得的和与第三个数的和，等等。

在小学教材中称为连加法，即把多个数合并为一个数的运算。

（2）加法的运算性质

①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。

即：a＋b＝b＋a。

②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再加上第一个数，它们的和不变。

即：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

③加法交换律和结合律推广到若干数相加：若干个数相加，任意交换加数的位置，或者先把其中的任意几个加数作为一组先加起来，再与其他加数相加，它们的和不变。

若干个数的和加上若干个数的和，可以把第一个和中的各个加数分别加上第二个和中的一个加数，再把所得的和加起来。

（3）加法的运算法则

①一位数的加法：两个一位数相加，可以用数数的方法求出和。通常是把两个一位数相加的结果编成加法表，在计算时直接使用这些结果。

②多位数的加法：多位数相加时，分别把相同计数单位的数相加，哪一个计数单位上的数满十，就向高一级的计数单位进一。

整数减法

（1）减法定义

①定义：已知两个数a，b，求一个数c，使c与b的和等于a，这种运算叫做减法。记作a-b＝c。读作“a减b等于c”。a叫做被减数，b叫做减数，c叫做a与b的差，符号“-”叫做减号。

②从集合的观点看，减法是这样的一种运算：

设A是一个有限集合（基数是a），B是A的一个子集（基数是b），从集合A中取出集合B的所有元素以后，得到集合C（基数是c）是A与B的差集。因此，已知a与b，求它们的差c的运算，即求集合A与集合B（B是A的子集）的差集的基数c。

（2）减法的运算性质

①一个数减去两个数的和，等于从这个数中依次减去和里的每一个加数。

即：a-（b＋c）＝a-b-c。

②一个数减去两个数的差，等于先在这个数上加上差里的减数，然后再减去被减数；或者先从这个数中减去差里的被减数，然后再加上减数。

即：a-（b-c）＝a＋c-b，或者a-（b-c）＝a-b＋c。

③若干个数的和减去若干个数的和，可以从第一个和中的各个加数，分别减去第二个和中不比它大的一个加数，然后把所得的差加起来。

（3）减法的运算法则

①一位数或两位数减去一位数且差是一位数的减法，一般是根据减法定义，利用加法表来计算。

②多位数减法，分别把相同计数单位的数相减，哪一个计数单位上的数不够减，就从高一级的计数单位上的数退一（当十）再减，为了简便起见，通常写成竖式计算。

（4）加减法中各部分之间的关系

①在加法中，一个加数等于和减去另一个加数。

②在减法中，被减数等于减数加上差；减数等于被减数减去差。

（5）已知数的变化所引起的和与差的变化

①和的变化

如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。即：如果a＋b＝c，那么（a＋m）＋b＝c＋m，或（a-m）＋b＝c-m。

如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。即：如果a＋b＝c，那么（a＋m）＋（b-m）＝c。

②差的变化

如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。即：如果a-b＝c，那么（a＋m）-b＝c＋m，或（a-m）-b＝c-m。

如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。即：如果a-b＝c，那么a-（b＋m）＝c-m，或a-（b-m）＝c＋m。

如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，那么它们的差不变。即：如果a—b＝c，那么（a＋m）-（b＋m）＝c，或（a-m）-（b-m）＝c。

整数乘法

（1）乘法定义

定义：b（大于1的整数）个相同加数a的和c叫做a与b的积。求两个数的积的运算叫做乘法。记作a×b＝c或a·b＝c。读作“a乘b等于c”或“b乘a等于c”。数a叫做被乘数，数b叫做乘数，被乘数和乘数也叫做积的因数，有时也简称因数。符号“×”或“·”叫做乘号。a×b也可以简写成ab。

在小学教材中将乘法描述为：求b个相同加数和的简便运算叫做乘法。

（2）乘法的运算性质

①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。

即：a·b＝b·a（或ab＝ba）。

②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。

即：（ab）c＝a（bc）。

③乘法对于加法的分配律（简称乘法分配律）：两个数的和与一个数相乘的积，等于每一个加数分别与这个数相乘再把所得的积加起来。

即：（a＋b）c＝ac＋bc，或c（a＋b）＝ca＋cb。

④乘法的分配律也可做如下的推广：

若干个数的和与一个数相乘的积，等于和中的每一个加数分别与这个数相乘，再把所得的积加起来。

⑤乘法交换律和结合律可以推广到若干个数相乘，即：若干个数相乘，任意交换因数的位置，或者任意把其中的几个因数组成一组，先乘起来，所得的积不变。

⑥若干个数的和与若干个数的和相乘，等于第一个和里的每一个加数与第二个和里的每一个加数相乘，再把所得的积加起来。

⑦两个数的差与一个数相乘的积，等于被减数和减数分别与这个数相乘，再把所得的积相减。

即：（a-b）c＝ac-bc或c（a-b）＝ca-cb。

（3）乘法的运算法则

①表内乘法

通常是把所有两个一位数相乘和它们的结果编成乘法口诀，或一个乘法表，计算时直接利用这些结果求出积。

②多位数乘法

·多位数乘以一位数：先用乘数去乘被乘数每一位上的数，哪一位上乘得数满几十，就向它的前一位进几，最后把每次乘得的结果相加。

·多位数乘以一个数字后面带有若干个零的数的乘法的计算法则：先用乘数中0前面的一位数去乘被乘数，再在所得的积后面添上乘数末尾所有的0。

·多位数乘以多位数的计算法则：先用乘数各个数位上的数去乘被乘数的每一位，再把所得的结果相加。

整数除法

（1）除法的定义

①定义：已知两个数a，b，求一个整数q，使q与b的积等于a，这种运算叫做除法。

记作a÷b＝q，读作“a除以b（或b除a）等于q”。a叫做被除数，b叫做除数，q叫做a与b的商，符号“÷”，叫做除号。(https://www.daowen.com)

②整除的定义：整数a除以自然数b，如果能够得到整数商q（或者说，如果存在整数q，能使bq＝a），这时就叫做b能整除a（或者a能被b整除），记作b︱a。

③有余数除法的定义：已知两个数a，b（a，b是自然数），要求两个整数q，r，使qr满足以下条件：a＝bq＋r，并且r＜b，这样的运算叫做有余数除法。一般记作a÷b＝q（余r），或a÷b＝q……r，读作“a除以b等于q余r”。a还叫做被除数，b还叫做除数，q叫做不完全商（有时为了简便也简称商），r叫做余数。

（2）除法的运算性质

①一个数除以两个自然数的积，等于这个数依次除以积中的两个因数。

即：a÷（b·c）＝a÷b÷c（bc︱a）。

②一个数除以两个自然数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数。

即：a÷（b÷c）＝（a·c）÷b，或a÷（b÷c）＝（a÷b）·c（b︱a）。

③两个数的积除以一个自然数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。

即：（a·b）÷c＝（a÷c）·b（c︱a），

或（a·b）÷c＝a·（b÷c）（c︱b）。

④两个数的商除以一个自然数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。

即：（a÷b）÷c＝a÷c÷b（bc︱a）。

⑤若干个数的和除以一个自然数，等于用除数去除和里的各个加数（在能整除的条件下），然后把所得的商加起来。

（3）除法的运算法则

①表内除法

被除数和除数都是一位数，或者被除数是两位数，除数和商都是一位数的除法，可以用乘法口诀直接求出商。

②多位数除法

从被除数的高位起，除数有几位，就先看被除数的前几位，如果前几位数比除数小，就再往后边多看一位；除到被除数的哪一位，就把商写到那一位的上面；哪一位不够商1，就在那一位上商0；每次除得的余数必须比除数小。

（4）乘除法中各部分之间的关系

①在乘法中，一个因数等于积除以另一个因数。

②在除法中，被除数等于除数乘以商，除数等于被除数除以商。

③在有余数的除法中，被除数等于除数乘以不完全商加余数；除数等于被除数减去余数再除以不完全商。

（5）已知数的变化所引起的积与商的变化

①积的变化

如果一个因数扩大（或者缩小）若干倍（0除外），另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或者缩小）相同的倍数。即：如果a×b＝c，那么（a×n）×b＝c×n，或（a÷n）×b＝c÷n（n︱a）（n≠0）。

如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数（0除外），那么它们的积不变。即：如果a×b＝c，那么（a×n）×（b÷n）＝c（n︱b）（n≠0）。

②商的变化

如果被除数扩大（或缩小）若干倍（0除外），除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）相同的倍数。即：如果a÷b＝q，那么（a×n）÷b＝q×n，或（a÷n）÷b＝q÷n（bn︱a）（n≠0）。

如果除数扩大（或缩小）若干倍（0除外），被除不变，那么商反而缩小（或扩大）相同的倍数。即：如果a÷b＝q，那么a÷（b×n）＝q÷n，（bn︱a），或a÷（b÷n）＝q×n（n︱b）（n≠0）。

被除数和除数都扩大（或缩小）相同的倍数，那么它们的商不变。即：如果a÷b＝q，那么（a×n）÷（b×n）＝q，或（a÷n）÷（b÷n）＝q（n︱0，n︱b）（n≠0）。

在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），虽然不完全商不变，但余数却随着扩大（或缩小）相同的倍数。即：如果a÷b＝q（余r），那么（a×n）÷（b×n）＝q（余r×n），或（a÷n）÷（b÷n）＝q（余r÷n）（n︱a，n︱b）（n≠0）。

（6）运算顺序及有关概念

①加、减、乘、除四种运算，统称为四则运算。

②一个试题里，如果含有加、减、乘、除四种运算中任意两种或两种以上的运算，这个试题就称为四则混合运算试题。

③加、减、乘、除四则运算分成两级。加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。

④在没有括号的算式里，运算顺序分以下两种情况。

在一个算式里，如果只含有同一级运算，即只有加、减法或者只有乘、除法，那么它的运算顺序，应按从左到右的顺序计算。

在一个算式里，如果既含有第一级运算，又含有第二级运算，那么它们的运算顺序是先算第二级运算，再算第一级运算。即要先算乘法和除法，后算加法和减法。（通常说成“先乘除，后加减”）

⑤在含有括号的算式里，运算顺序是先算括号里面的，再算括号外面的。

2．分数四则运算的概念、法则及其关系

（1）分数加法的定义

为了使分数的运算仍保留整数运算的基本性质，我们给分数的加法做如下定义：有两个分数，分别以其中一个分数的分子与另一个分数的分母相乘，把得到的两个积的和作分子，以两个分数的分母的积作分母，这样所得的分数叫做这两个分数的和。求两个分数的和的运算叫分数加法。

注：分数加法和整数加法的意义实质相同。

（2）分数加法的运算法则

分数加法的定义就包含了运算法则：用两个分数的分母的积作公分母，进行通分，然后用这个公分母作和的分母，用通分后两个分子的和作和的分子。学了约分后分数的值要化到最简分数。

注：

①我们在实际计算时，如果两个分数的分母不是互质数，通常用两个分母的最小公倍数作公分母，进行通分，然后用这个公分母作和的分母，用通分后两个分子的和作和的分子。

②分数加法和整数加法的运算法则虽然形式不同，但实质是相同的，即只有相同单位的数才能相加。

（3）分数减法的定义

定义：已知两个分数和，求一个分数，使与的和等于，这种运算叫做分数减法。记作。其中是被减数，是减数，是与的差。

注：分数减法和整数减法的意义相同。

（4）分数减法的运算法则

用两个分数的分母的积作公分母，进行通分，然后用这个公分母作差的分母，用通分后两个分子的差作差的分子。

注：

①通常计算时，一般用两个分数的分母的最小公倍数作公分母进行通分，然后再相减。如果两个分数的分母是相同的，那分母不变，两个分子的差作差的分子。

②分数减法和整数减法的运算法则虽然形式不同，但实质是相同的，即只有相同单位的数才能相减。

（5）分数乘法的定义

定义：用两个分数的分子的积作分子，分母的积作分母，所得的分数叫做这两个分数的积，求两个分数的积的运算叫做分数乘法。

即：如果有两个分数和，那么，其中是被乘数，是乘数，是它们的积，被乘数和乘数又都叫做积的因数。

注：

①在小学教材中将分数描述为：求c个相同加数和的简便运算；也表示c的是。

②在小学教材中将分数描述为：表示的是。

（6）分数乘法的运算法则

分数乘法的定义就包含了运算法则：两个分数相乘即把它们的分子、分母分别相乘作积的分子和分母。

（7）分数除法的定义

定义：已知两个分数和，求一个分数，使与的积等于，这种运算叫做分数除法。记作。其中是被除数，是除数，是与的商。

注：在小学教材中将描述为：已知的是，求是多少；也表示是的；也表示的是。

（8）分数除法的运算法则

用被除数的分子与除数的分母的积作商的分子，用被除数的分母与除数的分子的积作商的分母。换句话说，即把除数的分子和分母交换位置以后与被乘数相乘。这个法则是根据分数的定义和分数乘、除法的定义推得的。

（9）倒数定义

定义：如果两个数的积等于1，我们就说这两个数互为倒数。

3．小数四则运算的概念及法则

小数的本质是十进分数，所以其四则运算的意义与分数相同。而小数又是按照十进位制的位值原则，仿照整数的写法把十进分数改写成了不带分母的整数的形式，所以其四则运算的运算法则与整数四则运算的运算法则基本相同，只需处理小数点的问题。

同样，分数、小数的运算律及四则混合运算与整数基本相同。

另外，由于常见的量以及代数的基础知识在小学教材中已有明示，因此不再赘述。