数的认识的相关知识

一、数的认识的相关知识

1．整数的概念及其关系

整数概念是数学最基础的知识，其他各数都是在此基础上扩充而来的，整数包括正整数、零和负整数，正整数和零统称为自然数。具体定义如下：

（1）自然数：一类等价的有限集合的标记叫做自然数。在小学教材中将自然数描述为：用来表示物体个数的1，2，3，4，……叫做自然数。

注：

·自然数起源于数数。如，数数时把凡是数量是1的事物归为一类，用自然数1来表示。

·一个物体也没有，用自然数0表示。自然数0不仅表示没有；还表示在标准大气压下，冰水混合物的温度；表示计量的起点；0是正数与负数的分界点；另外0还有占位的作用。

·1是自然数的基本单位，任何非0的自然数都由若干个1组成。

·自然数具有基数和序数双重含义。

（2）基数：自然数用来表示物体多少时叫做基数。

（3）序数：自然数用来表示物体次序时叫做序数。

（4）负数：小于零的数叫做负数。

注：大于零的数叫做正数。

（5）数字：用来记数的符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9叫做数字（或数码）。

注：数字共有10个：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

（6）十进制计数法：每相邻的两个计数单位之间的进率都是10，这样的计数方法，被称为十进制计数法。即10个一等于1个十、10个十等于1个百……十进制计数法遵循“满十进一”的原则，它是全世界通用的一种计数方法。

注：还有其他进制。如二进制计数法等。

（7）十进数：用十进制计数法所表示的数，称为十进制数，简称十进数。如自然数和小数都是十进数。

（8）计数：计数即数数。计数的过程即把物体与自然数列里从1开始的、由小到大的若干个自然数建立一一对应的过程。

注：计数不等同于记数。

（9）计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……都是整数的计数单位。

注：每相邻的两个计数单位，10个较低单位等于一个较高单位（每相邻两个计数单位之间的进率都是十）。“一”是基本单位，其他计数单位又叫做辅助单位。

（10）数位：在记数时，计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

（11）位置值：数字本身与它所占的位置结合起来所表示的数值叫“位置值”。

（12）位数：位数是指一个数用几个数字写出来（最左端数字不能是0），有几个数字即几位数。

（13）数位顺序表：通常把按照数位的顺序从右到左排列的表，叫做数位顺序表。

（14）准确数：与实际完全符合的数据叫做准确数。

（15）近似数：与实际大体符合，或者说接近实际的数据叫做近似数。

（16）尾数：一个数的某一位后面的部分叫做它的尾数。^[2]

以上是整数的认识涉及的相关概念，这些概念彼此间存在着内在联系，其主要概念间的关系如图3-1所示：

2．分数的概念及其关系

在人类生活中，为了计数事物的个数产生了整数。随着社会的发展，只有整数已经无法满足人们生活实际的需要。于是，产生了分数，扩充了数的范围。(https://www.daowen.com)

图3-1　整数主要概念间的关系

（1）分数：形如（n≠0）的数叫做分数，m叫做分数的分子，n叫做分数的分母，中间的横线叫做分数线。

注：写分数时先写分数线，再写分母，最后写分子。

（2）分数在度量中的含义：把单位“1”平均分成n份，表示m个这样的一份的数即分数。^[3]

（3）把度量单位“1”平均分成n份，把其中的1份作为新的度量单位，叫做“1”的n分之几一，记作；把叫做分数的分数单位。用去度量A，如果A中恰好含有m个，度量的结果即。

（4）分数的另一种含义：表示两个数相除的结果。既把m平均分成n份，表示这样一份的数。

（5）分数与除法的关系：m÷n＝（n≠0）

注：因为分数有一种含义是表示两个数相除的结果，所以分数与除法既有联系又有区别。

（6）分数与除法的联系是：分数中的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数的值相当于商。在除法中除数不能是零，在分数中分母也不能是零。分数与除法的区别是，除法是一种运算，而分数是数。

（7）真分数：分子小于分母的分数（分子是0的除外）叫做真分数。

（8）假分数：分子大于或等于分母的分数叫做假分数。

（9）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。（也叫百分率或百分比）

以上主要概念间的关系如下：

图3-2　分数概念间的关系

3．小数的概念及其关系

自古以来我国就用十进制记数法，作为十进制记数法的沿袭，当整数无法满足人们的需要时，便产生了小数。

（1）小数：小数由整数部分、小数部分和小数点组成。小数是十进分数的一种特殊表现形式，根据十进位制的位值原则，把十进分数仿照整数的写法写成不带分母的形式的数叫小数。所有分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数。无理数为无限不循环小数。

在小学教材中将小数描述为：把十分之几、百分之几、千分之几……的分数仿照整数的写法写成不带分母的形式的数，在整数个位的右面用圆点隔开，用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数叫做小数。小数中的圆点叫做小数点。小数点左边的部分是小数的整数部分，小数点右边的部分是小数的小数部分。整数部分是零的小数叫做纯小数。例如0．9是纯小数，6．8是带小数。

（2）循环小数：一个无限小数，如果它的小数部分从某一位起，都是由一个或者几个数字，依照一定的顺序不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。一个循环小数的小数部分中依次重复出现的一个或几个数字，叫做循环节。

小数概念间的关系如下：

图3-3　小数概念间的关系