式与方程的教学策略

四、式与方程的教学策略

代数初步知识一般是指：用字母表示数、式、简易方程及比和比例的内容。从整个小学数学教学内容来看，算术是代数的基础，因此代数初步知识的教学要与算术知识相配合，早期孕伏，逐步渗透，分散与集中相结合地逐步展开。

如果说数的抽象是学生思维的第一次飞跃，那么代数内容的学习是学生思维的又一次飞跃。要在代数初步知识的学习过程中，体会代数思维的特点，熟悉代数处理问题的方法。那么代数思维的特点是什么，它与算术思维有何区别呢？第一，算术是与数打交道，是具体的、个别的计算与推理，而代数是作用于事物的类别或形式上的方法，是类型计算，是抽象的、一般的运算与推理。如2＋3＝5只代表2加3是5，而用a和b分别表示长方形的长和宽，那么长方形的周长s＝2a＋2b＝2（a＋b）代表所有长方形的周长。第二，算术关注计算结果，而代数关注关系结构。

如某数减1，乘6，再加3得到27，求这个数？如果把某数作为计算结果，用还原法列式（27-3）÷6＋1得到这个数是5，是算术思维；如果把某数（x）作为和1、6、3、27平等的一个数，找等量关系列式6（x-1）＋3＝27得到这个数是5，就是代数思维。

可见，代数思维的基本特征是用符号表示规律，表示量与量之间的相等、不等和变化关系；通过符号与符号之间的运算来一类一类地解决问题，进行一般性的运算与推理。

由算术思维过渡到代数思维同样需要一个过程，不可心急，这也正是在小学学习一些代数初步知识的原因。

1．用字母表示数的教学策略

（1）要做好由具体到抽象的引导，由特殊到一般的概括

首先，要用生动具体的实际例子来激发学生的学习兴趣。教师必须善于将抽象内容具体化、形象化，将枯燥内容生动化、有趣化，以激发学生的求知兴趣，加深其对知识的理解，使他们留下深刻的记忆。一位教师为了让学生感受“字母表示数”简明易记的特点，他先请几个学生说出三个不同的双数。接着问：“双数能举得完吗，谁有这个本领？”学生说：“双数无穷无尽，谁也不能说完。”但老师却说：“能说完，我国有位数学家用短短的一句话就能说完。”这时，学生感到非常惊奇，迫不及待想知道这方面的知识。紧接着老师介绍了这位数学家用a表示自然数，用2a表示所有双数的方法，点出了字母表示数的特点，进而学习了用字母表示数的意义和方法。其次，要学生能正确地读、写字母，使学生理解字母所表示的数可以是不确定的、变化的数。知道在同一个问题里，不同的量要用不同的字母表示，而在特定条件下，某一个字母表示的内容有其特定的意义。如，长方形面积公式S＝ab中，S表示面积；而在距离公式S＝vt中，S表示距离。对含有字母的式子，如，a＋3，要使学生的认识从具体的数的运算，抽象概括到认识a＋3既表示加法运算关系，是一个式子，又表示运算的结果。这是从特殊到一般、从具体到抽象、从算术到代数的认知过程，需要调整学生原有的认知结构，构建新的认知结构。

（2）训练学生把用语言叙述的数量关系改写成含有字母的式子

这部分内容，一方面可以提高学生用字母表示数的能力，另一方面对学生理解每个数学关系式的确切含义有好处，同时也为列方程解应用题做准备。这部分内容实际上是用字母表示数的加深和继续。教学时，要多联系学生已有的数学知识，正确运用和、差、积、商、多、少、几倍等术语，并注意书写格式、运算顺序。同时，要求不能过高，主要通过练习进行一些初步训练即可。

这里需要说明的是，用字母表示数这个看似简单的内容，学生往往存在着潜在的困惑。

【案例】特级教师蔡宏圣《用字母表示数》教学设计

一、导入

1．通过CCTV和其完整说法（China central television）的比较，引导学生体会生活中的字母运用和数学中一些单位的字母表示，都是完整说法的缩写。板书：缩写。

2．引导学生思考“2，4，6，8，x，12，14”中，x表示什么样的数？让学生领悟以前的学习中，字母更多地表示特定的未知数。板书：特定未知数。

二、体验

屏幕上出示三根小棒搭成的三角形，要求学生写算式表示摆2个、3个、4个三角形需要几根小棒？

师：好，下面我们来个小比赛，摆10个三角形，也用这样的算式来表示摆三角形用的小棒根数，比一比谁写得多！预备，开始。

学生纷纷动笔疾书，在交流中，学生总结了这些算式的特点。

师：既然这些算式写不完，哪你们能不能用一道算式，把你们已经写的和还没有写的算式都包括进来吗？

生1：n×3。

生2：x×3。

生3：a×3。

师：看来大家意见都比较一致，就是用字母表示。那行，老师就和刚才那位同学一样写成“（a×3）”（课件出示）。不过都用字母表示数了，为什么不把这里的“3”也用字母表示呢？

生：三角形都有3根小棒是不可能改变的。

师：很好！可见，用字母表示数不是简单地用字母替代数，而是把一直变化的量用字母表示，而不变的量照写。

师：孩子们，刚才我们写的这些算式（手指着屏幕上“（2×3）”、“（3×3）”等算式），每一条算式都表示摆三角形的一种情况，那现在的“（a×3）”呢？

生1：各种各样的情况。

生2：所有的情况。

师：也就是说，这里的字母表面上看只是一个字母，但它是个有魔力的字母，它可以代表是——

生：（齐声）无数个数。

三、反思

师：孩子们，我们又用字母表示数了，回想一下刚才我们所经历的过程，你觉得它还是这些意思吗？（手指板书“缩写未知数特定”）

生：不是。

师：那有了什么发展？

学生稍稍思考后，举起了小手。

生：特定。

师：那现在是什么意思了？

生1：不是特定的，不定了。

生2：自由了。

生3：是变化的。

生4：现在表示许多个数了。

师：对，差不多的意思。（在“特定”后面板书：→变化）那在这里，真的就可以随心所欲地变，没有一点范围吗？

（学生凝神思考）

师：这里的a表示三角形的个数，比如说摆1．2个三角形，可以吗？

生：不可以。

师：老师举的例子给你有什么启示？

生：说明a不能是小数、分数。

师：对，只能是什么数？

生：自然数。

师：还只能表示未知数吗（手指板书“未知数”）？

生：不是，是已知数了。（在“未知数”后面板书：→已知数）

师：既然是已知数，那为什么还要用——字——母——表示呢？

思考片刻后，五六个学生举起了手。

生1：因为这个数的范围很大，我们不确定它到底是多少。

生2：因为它有无数个。

生3：因为它太多了，一个个地说，说不完。

师：正因为这样的数太多了，所以我们用一个字母把它们都——（学生异口同声地）概括进来。而且我们约定，用26个字母中的前几个字母表示已知数，最后几个字母，例如x、y、z表示未知数。

……

四、运用

师：下面一个练习是“编故事”。故事的主角是“a×4”。老师先做个示范。（掂掂学生的数学书）如果a表示一本数学书的重量，那么a×4就是？

生：（异口同声）4本数学书的重量。

师：而且是4本同样的数学书的重量。很容易吧？下面，哪个同学来编？

学生们用a代表各种数量，说了“a×4”的意思。

师：大家把“a×4”讲得这样地丰富多彩，老师讲个这方面的历史故事。

学生鼓起了掌。

师：在历史上，数量和数量之间的关系，我们人类最初是用文字表达的（课件出示：每个重量×4，每个价钱×4，每班人数×4，其中“重”、“价”、“人”用红色标出）。用文字来表达，显然比较烦琐。因而，古希腊数学家丢番图想到了用“缩写”的方法来表示，仿照丢番图的方法，这里的“每个重量×4”，取“重”发音的第一个字母，表示成“z×4”。那么“每个价钱×4”和“每班人数×4”怎样用缩写的方法表示？

生：j×4和r×4。

师：丢番图用字母的缩写来表示数量间的关系，虽然简洁了，但每个字母都表示特定的意思，不能把z×4和j×4混同起来，所以，并没有给数学家研究数学带来更多的简便。到16世纪，法国数学家韦达想，如果把各种情境中字母表示的特定意思都去掉的话，不都是一个数和4相乘吗？（课件中“z×4”、“j×4”、“r×4”依次变为“□×4”）所以，韦达就表示成了a×4，这里的a还是特定的意思吗？

生：（异口同声）不是！

师：对，字母“a”已经不表示任何具体的意义，和这里的小方块一样，只是一个符号而已（在“缩写”后面板书：→符号）。自从韦达把字母当作符号来表示数之后，许多数学难题得到了解决，数学获得了飞速发展，韦达被称为现代代数学之父。

故事的最后，老师想请大家猜猜，从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当作符号来表示数，用了多少年？

生1：100年。

生2：很多年。(https://www.daowen.com)

师：对，是很多年，整整1200年！

学生情不自禁地发出了惊呼。

师：孩子们，一方面我们应该为历史上无数数学家百折不挠、呕心沥血献身于数学的精神而感动，另一方面也为我们自己用了40分钟就跨过了人类认识提升的1200年历史，表现出的巨大的学习潜能而——

生：骄傲！

学生眼睛里闪烁着光芒，声音响亮地喊着。

师：当然，通过今天的学习，有些同学对“用字母表示数”可能还有些模糊，那也不要紧。你想想，在历史上数学家们都用了1200年，你才学了一节课，你急什么呢？！相信自己，通过后面的学习一定能融会贯通的。

……

2．方程的教学策略

这部分内容包括方程、方程的解和解方程等概念，以及解一些简易的方程。

（1）借助天平的演示建立方程的概念

方程是含有未知数的等式。因此教学方程的概念要从等式讲起。教学时可以利用自制的一个天平进行演示（或利用课本中的插图），先使学生认识天平平衡的条件是两边的重量相等，引导学生将天平两端物体重量相等的事实用式子表示出来，使学生明确等式的含义，即表示等号两边两个式子的相等关系。然后使天平一端出现未知重量，根据天平仍旧平衡，引出含有未知数的等式，如20＋x＝50。然后再列举其他实例（注意逐步抽象，不必每个例子都通过天平的演示来说明），然后概括出方程的意义。对于方程的概念，不宜作过多的介绍，以免给学生造成不必要的负担，在方程的定义上过多纠缠。

方程的解和解方程两个概念，学生容易混淆。教学时可以指出，方程的解在这里指的是一个数，即使等式左右两边相等的未知数的数值，而解方程是指求出这个数的演算过程。进一步，再通过解方程和检验方程的解使学生具体体会这两个概念的含义。

（2）把未知数和已知数置于平等的数，找等量关系列方程

由于小学数学中列方程的内容都比较简单，一般都能直接设所求的数为未知数，用字母把未知数表示出来，然后让表示未知数的字母和已知数处于同等地位，一起按照题目的数量关系列出等式。因此找出问题中数量间的相等关系是列方程的关键。找相等关系，可以用操作、模拟、画线段图、表格等直观法，也可以用抽象的分析法。

尽管找等量关系列方程要比用算术方法列式来得更方便，但是由于学生已接受并习惯了算术方法列式，所以在教学这部分内容时也要注意由算术思维过渡到代数思维的引导。

【案例】季国栋《方程的意义》教学设计

一、创设情景，抽象数学式子

1．感知平衡，认识天平

（1）游戏：手指顶直尺保持平衡。

（2）说说生活中类似的现象，如果两边相等可以用数学上哪个符号来表示？

2．创设情境，抽象出式子

（1）只含有数的式子

①看课件演示（平衡图），写出50×2＝100和50＋50＝100。

②看课件演示（不平衡图），写出50＜100。

③比较式子不同之处，得出“等式”概念并板书。

（2）含有未知数的式子

①棉签重量不知引出未知数用字母表示。

②猜测：天平左盘是50克，右盘是100克，如果将棉签放入左盘会出现什么情况？

③根据不同情况写出式子。

50＋x＝100；50＋x＜100；50＋x＞100

④课件呈现：四个月饼重400克的天平平衡画面，写出式子：4x＝400。

⑤比较式子的不同之处，得出这4个式子都含有未知数，板书：含有未知数。

二、引导分类，概括方程概念

1．提出分类要求：根据某个标准，将写出的式子进行分类。

50×2＝100　50＋50＝100　50＜100　50＋x＝100　50＋x＜100

50＋x＞100　4x＝400

2．小组讨论，进行分类。

学生利用纸条上的算式，小组进行分类，教师巡视。

3．演示分类：学生根据不同标准演示不同分类方法，说出分类标准并描述每一类式子。

4．观察分类：虽然分类方法不同，但都能分出这样一类：50＋x＝100，4x＝400。

5．描述式子：50＋x＝100和4x＝400这一组式子有什么共同的特征呢，你能描述一下吗？

6．概括概念并完整板书：含有未知数的等式，叫方程。

7．揭示课题并板书：方程的意义。

三、举例辨析，体会方程本质

1．举例并交流

（1）学生举例。试举2～3例，写在自己的本子上，可以模仿屏幕上的方程，最好能写出形式不一样的方程。

（2）小组内交流，看看是否写对。

（3）全班交流。

2．辨析

（1）取走黑板上不是方程的式子，并说明理由。

（2）讨论：方程必须同时具备哪些条件？

（3）小结：现在我们更加深刻地认识到，一个方程必须要同时具备含有未知数和等式两个条件，缺一不可。

（4）练习：从式子中先选出等式，再找出方程。

（5）交流从练习中获得的新的启示。

3．探究方程与等式的关系

（1）观察练习中等式与方程后面的符号，说说发现。

（2）小组讨论，把方程与等式的关系写在纸上或画在纸上。

（3）学生上前展示并说明。

（4）教师出示韦恩图，说明并总结。

（5）判断并举例说明：①方程一定是等式。②等式一定是方程。

4．课堂小结。

四、方程史话

《九章算术》是我国著名的数学著作，在收有246个数学问题中，方程术是最高的数学成就。它提出了方程的概念，也系统地总结了方程的解法，比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。

五、联系实际，应用与拓展

1．看图列方程。

（1）直接呈现未知数。

根据天平平衡列出方程。

根据生活场景列出方程。

（2）不呈现未知数。

2．数学套餐。

自选数据和符号，组成方程。

3x　20　2y　60

＋　-　×　÷　＝　＜　＞