数的运算的教学策略

二、数的运算的教学策略

数的运算占据了我国传统小学数学教学的绝大部分时空，“因为直到近来，机器才能做一些运算，所以很久以来一直有必要教会人们用一些缓慢的而又不可靠的纸笔方法进行这些运算。在这一过程中，我们一直（并不聪明地）将几乎所有我们在教学上的努力和测试项目投入于这些运算。”有人如是说。实际上，计算是帮助我们解决问题的工具，在具体的情境中才能真正认识计算的作用。如果把计算放在整个数学体系之中，让学生了解为什么要计算，选择什么方法进行计算，学生就会将计算作为解题的一个组成部分，把计算与实际问题情境联系起来，就会认识到计算的价值，愿意计算。美国NCTM1989年《学校数学课程与评价标准》中对计算问题有一段论述，见下图。

图3-7　计算及其关系

这启示我们，首先应当让学生理解的是面对具体的情形，确定是否需要计算，然后再确定需要什么样的计算方法。因此，学生运算概念的建立是首要的，口算、笔算、计算器、计算机和估算都是供学生选择的方式，都可以达到算出结果的目的。我们就按这个思路阐述教学策略。

1．在情境中理解四则运算的意义

在情境中观察、思考、操作，使学生理解四则运算的意义，这个过程要贯穿于小学数学教学的始终。如，减法就是“取走”的意思。乘法就是“重复的加法”。除法的意思是分为相等的部分，或重复的减法。这些定义虽然能够很好地运用于整数，但是它们不适用于分数、小数、百分数和负数。比如，对于乘法的学习，从二年级开始时，教材一般会提供一些具有“相等的数的和”的结构的实际情境，然后从中抽象出乘法；接着学生将开始接触到具有“倍”的实际情境；在三年级面积学习时，学生又接触到乘法在“求长方形面积”的实际情境中的运用。这些对于乘法实际背景的积累将一直延伸到小数、分数的乘法。也就是说，教师要系统地把握教材，找到四则运算的意义的实际背景，与数的概念的形成策略相同地引导学生系统掌握四则运算的意义。

2．培养估算意识，鼓励学生探索合适的估算方法

（1）教师要不失时机地培养学生的估算意识，训练学生的估算技能

如在学习数的认识时估数（估计教室有多少张课桌，1200张纸大约多厚，一个人正常心跳100万次大约需要多长时间）；学习测量时估测（操场的面积是多少，电视塔有多高）；学习计算时估算（妈妈想买2袋米，每袋35．4元，14．8元的牛肉，6．7元的蔬菜和12．8元的鱼。妈妈带了100元，够吗）。再如，鼓励学生利用估算来检验计算结果；鼓励学生将估算结果与精确结果进行比较，体会不同估算方法的价值等等。

（2）鼓励学生在具体情境中选择合适的估算方法

是否有固定的方法，是否估算结果与精确结果越接近的方法越是最佳方法。实际不然，我们不妨来看一个教学案例的片段。

【案例】有关估算方法的讨论

北京市教科院基础教育研究中心特级教师　吴正宪

教学中首先呈现了曹冲称象的故事情境，引导学生得出曹冲是通过称量大石头的质量而得到大象的质量的。然后给出了分6次称出的所有大石头的质量：

图3-8　分六次称出的所有大石头的质量

鼓励学生估算这6次的总和。除了小部分学生精确计算外，均采用估算。下面是学生的估算方法：

方法1：300×6＝1800（小估法）

方法2：400×6＝2400（大估法）

方法3：300＋300＋300＋400＋400＋400＝2100（大小估法）

方法4：350×6＝2100（中估法）

方法5：330＋350＋300＋380＋400＋350＝2110（四下五上估，即四舍五入法）

方法6：300×7＝2100。表面上看有6个数，但是我又把每个数取走300后，剩余的凑在了一起，像28、46、77……凑合凑合又是一个300，这样大约是7个300了（凑估法）

在对这些方法进行了讨论后，教师创设了下面的两个问题情境，鼓励学生讨论使用哪种方法合理。

情境1：350名同学要外出参观，有7辆车，每辆车56个座位，估一估够不够坐？在解决这个问题时，学生出现了两种估算方法：

方法1：我是把56个座位看成50个，50×7＝350，350＝350，看成50个座位够了，实际每辆车有56个座位，所以太够了。

方法2：我是大估的。把56看成了60，六七四十二，60×7＝420。所以够用。

师：好。你们既然有这么多估算的方法，那么对于这道题目，你们认为小估好一点，还是大估好一点？（生手势选择小估）为什么遇到这种题要小估呢？有什么经验吗？

生：因为小估成50个座位都够了，按实际的56来计算就更够了。

师：为什么不选择大估呢？

生1：本来每辆车只有56个座位，你估成60个了，万一人来得多了，就有可能不够。（教师抓住了“万一”这个词，进行引导）

生2：小估好，小估保险。

在上面的片段中，显然方法2更加接近56×7的精确结果，但方法1却是合理的。那么，是不是遇到这样的题目“小估”就一定是合理的方法呢？教师又创设了第二个问题情境。

情境2：一辆自重980千克的卡车，装有6箱货物，每箱货物285千克，这辆车可以通过限重3吨的桥吗？

学生选用了这样的方法：每箱看成300千克，就是先算这辆车运的货大约是1800千克，把车重980千克看成1000千克。两个加起来约等于2800千克。

师：为什么不把285看成200啊？

生：这里小估不保险。把285千克看作200千克能过去了。但是如果遇到万一的情况可就不保险了。

师：同学们，像这样的情况下你们说是大估好还是小估好？

生：大估。大估比较保险。

在经历了两个不同的问题情境后，教师鼓励学生进行了反思。

师：我可有问题了，刚才估座位你们说小估保险，现在估过桥问题你们又说大估好。到底大估好，还是小估好？再遇到第三种情况怎么办？我也糊涂了。

生1：大估、小估都好。但要看用在什么地方。该用大估就大估，该用小估就小估。

生2：那可要看情况了，不同的情况采取不同的估算方法。

师：是啊，你们说得真好，我们总结了这么多估算的方法，确实要看具体情况而决定用什么样的估算方法。

通过上面的案例，可以让学生体会到没有一个“万能”的估算方法可以解决所有问题，人们需要根据具体情境和问题来选择合理的估算方法。这种灵活性和选择性正是在小学阶段进行估算教学的重要原因之一。为此，《标准》提出：能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。此乃学生学习数与代数核心内容的重要组成部分，也是估算教学重要策略。

3．理解算理，归纳方法，熟悉法则

这里首先需要明确的是算理、法则的内涵及其两者的关系。算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成；运算法则是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足运算定律等。所以，算理为法则提供了理论依据，法则又使算理可操作。

由此不难看出，教学中既要重视法则的教学，还要使学生理解法则背后的道理。不仅要让学生知道该怎么计算，而且还应该让学生明白为什么要这样计算，使学生不仅知其然，而且还知其所以然，在理解算理的基础上掌握运算法则。

那么小学四则运算中的算理又是什么呢？我们不妨来具体问题具体分析。

如口算4＋3＝7（数的组成或数数），也就是说，20以内口算加法的算理就是数的含义。20以内口算加法的运算法则即由此整理的20以内的加法表。

再如笔算

324＋137

＝（3百＋2十＋4）＋（1百＋3十＋7）　　　　（数的组成）

＝（3百＋1百）＋（2十＋3十）＋（4＋7）　　（加法交换率与结合率的推广）

＝（3百＋1百）＋（2十＋3十）＋（1十＋1）　（20以内的口算加法）

＝（3百＋1百）＋（2十＋3十＋1十）＋1　　　（加法交换率与结合率的推广）(https://www.daowen.com)

＝4百＋6十＋1　　　　　　　　　　　　　 　（20以内的口算加法）

＝461　　　　　　　　　　　　　　　　　 　（数的组成）

在上面使用了十进制计数法、加法交换率与结合率的推广、20以内的口算加法。也就是说，算理是由数学概念、运算定律、运算法则等构成的说明如此计算的根据，即为什么这样算的道理。到此，你可能会存在这样的疑问，上面的推演过程小学生可以理解吗？当然，我们不可能在小学阶段让学生自己推演上面的过程，但在教学中我们要鼓励学生自己探索如何进行运算，并且尝试说明自己这样算的道理，在这些学生们的想法中往往蕴涵着算理。为此，我们不妨来看一个课堂教学片段：

【案例】关于“0．3×0．2”的讨论

北京市教科院基础教育研究中心特级教师　吴正宪

课上通过一个问题情境：长0．3米、宽0．2米的长方形花坛的面积是多少，引出了0．3×0．2＝？首先，学生们进行了猜想。一部分学生认为是0．6，一部分学生认为是0．06，产生了分歧。教师给学生充分思考探索运算结果的空间，交流时学生发言积极。

学生1：（用画图表示0．3×0．2＝0．06，如图3-9所示）“我是这样想的，宽是0．2米，长不到1米，所以结果不会是0．3（平方米）。我用百格图，这里的0．3米代表花园的长，0．2米表示花园的宽，表示面积的这些方格是6个，是6个0．01，占百格图的百分之六，所以0．3×0．2结果是0．06。”

图3-9

学生2：我还有一种方法。把0．2看成是2，把0．3看成是3，2乘3得6，因为我刚才扩大了100倍，所以我要再缩小百分之一，得0．06。”

学生3：我没有这么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把0．2扩大10倍，2乘0．3得0．6，再把0．6缩小到原来的十分之一，就是0．06。

学生4：“我用竖式0．2与3相乘得0．6，任何数和0相乘都得0，所以0．2和0相乘得00，加起来就是0．06。”边说边写出了下面的竖式：

图3-10

学生4的方法得到同学们的热烈掌声。随即有同学问：“为什么不把小数点加在0和6之间呢？”

仔细分析学生这么多的方法，不难发现其中的不少方法蕴涵着朴素的道理。比如，方法2、方法3都是运用积的变化规律将小数乘小数转化为以前学过的内容（整数乘整数或整数乘小数）；方法1看起来有点“麻烦”，耽误不少时间，但这个方法借助“百格图”，直观地呈现了乘法的意义，然后先得到6个小格（实际上就是算3×2），然后分析每个1格是0．01（实际上就是算0．1×0．1），6个小格就是0．06。这就启发我们思考算法多样化的一个重要价值。实际上，算法多样化不仅仅可以鼓励学生个性化、主动地学习，同时，学生自主探索运算方法的过程中，将运用已有的概念、定律、法则等尝试解决问题，这就是一个寻找“合乎道理”的运算方法的过程。这些多样化的运算方法往往蕴涵着学生心目中的“算理”，并且呈现形式是多样的（如数的、画图的），解释的途径也不尽相同（如方法2），对这些方法的比较和交流无疑为学生理解算理奠定了基础，在此基础上教师再加以总结归纳，学生对于算理的理解就会加深了。

以上，虽然针对的是小数乘法的一个案例，但为教师教学提供了共同的策略。

第一，重视学生自主探索计算方法的过程，因为这种探索往往体现了学生对于算理的初步理解。在此基础上，教师组织学生对各种方法进行比较，凸显其中蕴涵的算理。这里需要强调两点：一是交流的必要性和充分性。学生自主地探索运算方法后，必须进行比较充分的交流。学生应学习澄清自己的思路，并运用自己的语言表达思维过程。还应学习倾听他人的方法，从而进行反思。“蜻蜓点水”或无效的讨论不仅达不到思维碰撞的效果，而且有可能造成有的学生一无所获。二是防止过度多样化。它的意思是指每一种方法的提出应是学生自己经过了思考，并且确实是蕴涵着一定道理的，代表了学生对数学不同程度和多种角度的理解，而不能因为追求多样化而人为“造出”许多方法。

第二，作为教师要梳理小学阶段各种运算的算理，特别是梳理学生常见的方法背后是否蕴涵着算理，这样就能从容地面对学生的多种方法。

第三，要鼓励学生运用自己的语言有条理地表达自己的思考，即数的运算也是讲道理的，不是按照程序机械运行。实际上，上面几位学生在阐述自己的方法时，都在进行着推理，都在有条理地进行表达。

第四，由上不难看出，运算律对于运算是非常重要的。实际上伴随着数系的扩充，需要在新数系中定义运算，而定义运算的一个基本原则就是尽量保持运算律的成立。以前我们只是把运算律的价值放在简算上，现在看来有些“大材小用”了。

在小学常用的理解算理的方式有实物原型、直观模型、已有知识等。其中实物原型指的是具有一定结构的实物材料，如“元角分”等人民币、“千米、米、分米”等测量单位；而直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形或圆形图、数值线。

当学生经历了算法多样化，并且对于运算的道理有所理解后，还需要学生将众多算法中自己选择使用的方法或者常规的计算法则进行再熟悉，以达到内化，然后才是进一步的巩固练习。而在实际教学中，存在着当学生刚刚探索出方法后，教师立即就引导学生学习竖式，在对竖式还未真正内化的情况下，教师又开始引导学生学习“简化”的竖式。这样仓促地同时完成几个内容的教学，就可能造成学生因为没有真正理解竖式每一步的道理就只好机械记住法则了。

徐斌曾经揭示了如上的这种现象后指出“……反映了现在计算教学中的又一对基本矛盾——算理直观与算法抽象。在教具演示、学具操作、图片对照等直观刺激下，学生通过数形结合的方式，对算理的理解可谓十分清晰，但是好景不长，当学生还流连在直观形象的算理中，马上就得面对十分抽象的算法，接下去的计算都是直接运用抽象的简化算法进行计算。笔者认为，在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步完成‘动作思维——形象思维——抽象思维’的发展过程”。在文中，为了说明这一基本矛盾，还列举了“14×2”的教学片段：

首先出示情境图——两只猴子摘桃子，每只猴子都摘了14个。让学生提出问题：一共摘了多少个桃子，并列出乘法算式2×14。接着，让学生独立思考，自主探索计算方法。有的学生看图知道了得数，有的学生用加法算出得数，有的学生用小棒摆出了得数，也有少数学生用乘法算出了得数。然后，组织学生交流汇报自己的计算方法。老师在分别肯定与评价的同时，结合学生的汇报，板书了这样的竖式（下左图）：

图3-11

同时，老师结合讲解，分别演示教具、学具操作过程，又结合图片进行了数形对应。最后，老师引导学生观察这种“初始”竖式，通过讲解让学生掌握“简化”竖式的写法（上右图），再让学生运用“简化”竖式进行计算练习。

这个案例从算理的直观立即进入了算法的抽象，不利于学生理解法则。徐斌建议：“形成了初始竖式后，不必过早抽象出一般算法，而应该让学生运用这种初始模式再计算几道题”，并给出了如下的教学片段：

师：（在学生理解了14×2的初始竖式后）我们一起来用这样的竖式计算。

（请三名学生上台板演，其余学生自己尝试解答）

图3-12

师：我们来看黑板上的竖式。这些算式有什么共同的地方？

生1：它们都是两位数和一位数乘。

生2：第一次乘下来都得一位数，第二次乘下来都得两位数。

生3：我发现第二次乘下来都得整十的数。

生4：我发现得数个位上的数就是第一次乘得的数，得数十位上的数就是第二次乘得的数。

师：大家观察都很仔细，那么你们觉得像这样写怎么样？

生1：比较清楚。

生2：清楚是清楚，不过有点繁琐，有些好像不要写两次的。

师：是啊，要是能简单些就好了。

生3：其实这个竖式积里十位上的数字可以移动到个位数字的左边来，其余可以擦去的。

师：哦，你的想法挺好的，我们一起来看屏幕。（屏幕上动画演示竖式由繁到简的过程。）

师：老师也来写一次，你们看——这样写比原来是否是简单多了？

生：（齐）是！

师：我们以后列乘法竖式时，可以选择简单的方法来写。

师：刚才写的三道竖式，你们能不能把它们改成简单的写法？（原来板演的三名学生上台，其余学生也动手把初始写法改成简单写法。）

这一过程体现了“让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握”。

总之，在算法多样化的基础上，教师既要沟通各种算法之间的联系，凸显算理；又要让学生对于常规法则（或者学生个体选择的方法）进行充分的内化，然后再进入到巩固练习的阶段。从而在以后遇到此类计算时，学生能自动地使用法则。

那么，怎样才能使学生能自动地使用法则呢？第一，掌握数及运算的意义，掌握运算率，因为它们是理解算理的依据；第二，明确算理，因为理解了算理就意味着能推算出结果，即会算；第三，加强训练，在会算的前提下，由开始的密集训练到后来的适当训练，由刻意设计的趣味训练到为解决问题遇到的无意训练。我们必须认识到，使用法则自动化的程度不是一朝一夕所能达到的，不能操之过急。^[5]