第二题 三角求弧
设：如土星黄道经度距夏至一百二十二度二十九分，赤道经度距夏至一百一十九度二十一分〇三秒，黄赤两过极径圈交角二十度二十分四十七秒，求黄赤纬度各几何。
如右图，甲乙丙斜弧三角形。甲为赤极，乙为黄极，甲乙为两极距度，丙为土星，丁戊为黄道，乙庚为赤道，丁辛为黄道，经度距夏至（一百二十二度二十九分）即乙角。己壬为赤道经度，距夏至（一百一十九度二十一分〇三秒），即甲外角。丙角为甲壬、乙辛两经圈交角（二十度二十分四十七秒）。丙辛为黄道纬南度，乙丙为星距黄极度，丙壬为赤道纬南度，甲丙为星距赤极度。此形有甲乙丙三角，求乙丙，甲丙二弧。先用次形法求乙丙弧，将甲乙丙形易为癸子丑次形（本形甲角即次形，子丑弧本形，乙角之外角即次形，癸丑弧本形，丙角即次形，癸子弧本形，甲乙弧即次形，丑角本形，乙丙弧即次形，癸角本形，甲丙弧即次形，子角之外角）。有癸丑，子丑，癸子三弧，求癸角（即乙丙弧）。以夹癸角之癸子弧（即丙角二十度二十分四十七秒）与癸丑弧（即乙外角五十七度三十一分。以黄经减半周得此数），相加得（七十七度五十一分四十七秒）为总弧，其余弦（〇二一〇二四九〇）。又两弧相减余（三十七度一十分一十三秒）为较弧，其余弦（〇七九六六六七七）。两余弦相减（俱不过象限，故相减），余（〇五八六四一八七），半之得（〇二九三二〇九三）为中数为一率，以对癸角之子丑弧（即甲角六十度三十八分五十七秒，以赤经减半周得此数），正矢（〇五〇九八四四〇）与较弧（三十七度一十分一十三秒）正矢（〇二〇三三三二三）相减，余（〇三〇六〇一一七）为矢较为二率，半径（一〇〇〇〇〇〇〇）为三率，求得四率（一〇四五三六八三）为癸角大矢，减半径余（〇〇四五三六八三）为癸角余弦。检表得（八十七度二十三分五十九秒），以减半周余（九十二度三十六分〇一秒）为癸角度，即乙丙弧度减象限余（二度三十六分〇一秒），即星距黄道南纬度。次用弧角相求法求甲丙弧。以甲角（一百一十九度二十一分〇三秒）正弦（〇八七一六三四八）为一率，乙丙弧（九十二度三十六分〇一秒）正弦（〇九九八九七〇三）为二率，乙角（一百一十二度二十九分）正弦（〇八四三五四七七）为三率，求得四率（〇九六六七七九九）为甲丙弧正弦。检表得（七十五度一十一分二十五秒），以减半周，余（一百〇四度四十八分三十五秒）为甲丙弧度，减象限余（一十四度四十八分三十五秒）即星距赤道南纬度。
说明：
《弧角三术》是刘鹗的第一本算学方面的著作。
现存《弧角三术》有两种版本：
一、抄本：三册。分为卷首、卷上、卷下；
二、石印本：一册。分为凡例、卷首、卷上、卷下。
《弧角三术》两种版本相同点是：内容相同，每页行数相同、每行字数相同，每题所绘几何图形的位置相同。
《弧角三术》两种版本不同点是：1.抄本无“凡例”，石印本有“凡例”。2.抄本作者署名原为“丹徒 云抟 刘鹗譔”，刘鹗亲笔改动为“丹徒 刘鹗 云抟 甫学”。石印本作者署名为“丹徒 刘鹗 云抟 甫学”。3.抄本分装三册，石印本装订为一册。
《弧角三术》曾有研究者提及，名之《弧三角术》，误。
《弧角三术》未署写作、刻印时间。根据刘鹗治理黄河的时间和刘鹗著《历代黄河变迁图考》前《尚书衔山东巡抚福片》可知《弧角三术》应写于1893年12月之前。
《刘鹗集》根据石印本标点、排印。
原文中每行用小字双排的文字用（ ）标出。
原书卷下第二十二题原文为：三率甲戊弧余弦，四率甲戊弧余弦。疑排印有误。标点时未加改动。
原书卷下·附总较法第一题原文为：一百六十五度五十八一十九秒。疑缺“分”字。现补为“一百六十五度五十八分一十九秒”。
原书卷下第十四题（本书第132页）、第十八题（本书第137页）、第十九题（本书第138页），总较法第二题（本书第145页）题图无甲、乙、丙等标志。