向量的线性运算

四、向量的线性运算

1.向量的加法

设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b(图1-5、图1-6).

三角形法则:

上述做出两向量之和的方法叫作向量加法的三角形法则.

平行四边形法则:

当向量a,b不平行时,平移向量使a与b的起点重合(图1-7、图1-8).

img

图1-5

img

图1-6

img

图1-7

img

图1-8

以向量a与b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.

向量的加法运算规律:

(1)交换律:a+b=b+a;

(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

负向量:

设a为一向量,与a的模相同而方向相反的向量叫作a的负向量,记为-a.

2.向量的减法

规定两个向量a与b的差为

a-b=a+(-b),

即把向量a加到向量-b上,便得a与b的差a-b.

3.向量与数的乘法

向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模img,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反.

当λ=0时,img,即λa为零向量,这时它的方向可以是任意的.

运算规律:

(1)结合律:λ(μa)=μ(λ)a=(λμ)a;

(2)分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.

例3 在平行四边形ABCD中,设img(图1-9).

img

图1-9

试用a和b表示向量img,其中M是平行四边形对角线的交点.

解 由于平行四边形的对角线互相平分,所以

img
img

向量的单位化:

img