向量的线性运算
2025年09月26日
四、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b(图1-5、图1-6).
三角形法则:
上述做出两向量之和的方法叫作向量加法的三角形法则.
平行四边形法则:
当向量a,b不平行时,平移向量使a与b的起点重合(图1-7、图1-8).

图1-5

图1-6

图1-7

图1-8
以向量a与b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.
向量的加法运算规律:
(1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
负向量:
设a为一向量,与a的模相同而方向相反的向量叫作a的负向量,记为-a.
2.向量的减法
规定两个向量a与b的差为
a-b=a+(-b),
即把向量a加到向量-b上,便得a与b的差a-b.
3.向量与数的乘法
向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反.
当λ=0时,,即λa为零向量,这时它的方向可以是任意的.
运算规律:
(1)结合律:λ(μa)=μ(λ)a=(λμ)a;
(2)分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.
例3 在平行四边形ABCD中,设(图1-9).

图1-9
试用a和b表示向量,其中M是平行四边形对角线的交点.
解 由于平行四边形的对角线互相平分,所以


向量的单位化:
