用初等行变换求逆矩阵

五、用初等行变换求逆矩阵

定理 A可逆当且仅当A可经初等行变换化为单位方阵.（证明略）

由定理知道，存在一系列初等矩阵P1，P2，…，Ps-1，Ps，使得

由于A可逆，用A-1右乘上式两端得

由以上两个等式说明，当A经一系列初等行变换化为单位矩阵E时，对单位矩阵E施行同样初等行变换就化成A-1.

因此，可以得到求逆矩阵的另一种方法：先由A、E作一个n×2n矩阵（AE），然后对它进行初等行变换，当把左边一块的A化为单位矩阵E时，右边一块的E就化成所要求的A-1了.即

为了更好地看清每一步的作用，在作矩阵初等行变换时都标明是哪种变换，且写在箭头上方，记法如下：

1.用“ri×k”表示第i行乘以公因子k；

2.用“（ri，rj）”表示第i行与第j行互换；

3.用“ri+rj×k”表示第j行的k倍加到第i行.