三、条件极值

某些条件极值也可以化为无条件极值，然后按无条件极值的方法加以解决.但是，有些条件极值化为无条件极值问题，常会遇到烦琐的运算.为此，下面介绍直接求条件极值的方法，该方法称为拉格朗日乘数法.

拉格朗日乘数法 求函数u=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的可能极值点，按以下方法进行.

（1）构造辅助函数

（2）求F（x，y，λ）对x，y，λ的偏导数，由极值存在的必要条件，建立以下方程组

（3）解上面方程组，求得x、y，则（x，y）就是可能的极值点.至于如何判断所求得的可能极值点是否为极值点，这里不再详述.但是在实际问题中，通常可根据问题本身的性质来判断.

此外，拉格朗日乘数法，对于多于两个变量的函数，或约束条件多于一个的情形也有类似的结果.例如，求函数u=f（x，y，z），在条件φ（x，y，z）=0，ψ（x，y，z）=0下的极值.

构造辅助函数

求函数F（x，y，z，λ1，λ2）的一阶偏导数，并令其为零，得联立方程组，求解方程组得出的点（x，y，z）就是可能的极值点.

例3 利用拉格朗日乘数法求解例2.