高斯消元法的实例

二、高斯消元法的实例

我们知道在解二、三元线性方程组时用消元法的过程相当于对其增广矩阵（AB）作初等变换，由此有：

定理 若将增广矩阵（AB）用初等变换化为（UV），则AX=B与UX=V是同解方程组.

证明 由于对矩阵作一次初等行变换相当于左乘一个初等方阵，因此存在初等方阵P1，P2，…，Ps，使得

设P=Ps…P2 P1，据本章第五节可知P可逆，若X1为AX=B的解，即AX1=B，

两边同时左乘矩阵P，有PAX1=PB，即

于是，X1为UX=V的解，反之，若X2是UX=V的解，即

两边同时左乘矩阵P-1，得：P-1UX2=P-1V，即AX2=　B.

于是X2为AX=B的解.

综上所述，AX=B与UX=V的解相同，称之为同解方程组.

这样我们为了求线性方程组（5.4）的解，利用定理及第五章第四节内容，只需通过初等行变换把增广矩阵（AB）化为阶梯形矩阵，为此有了解二元、三元方程组消元法的推广，即高斯消元法，步骤如下：

1.用初等行变换把增广矩阵（AB）化为阶梯形矩阵；

2.把阶梯形矩阵化为相应的方程组，解出其解就是原方程组的解.

通过上述两个例题可知，我们虽然不能直接求出每一个未知量的值，但是若在例1中对未知量x4任给一个值，则x1，x2，x3就有唯一的值，例2中对未知量x2，x4任给一组数，则x1，x3有唯一的值，由此说明例1、2的方程组都有无穷多组解.对此我们把例1中的未知量x4，例2中的未知量x2，x4称为自由未知数（或自由元），剩下的未知数称为基本未知数，用自由元表达其他未知数的表达式称为方程组的一般解.如例1中的方程组（5.6）、例2中的方程组（5.7）.当然自由元的选取不是唯一的，如例1中可取x3为自由元，则方程组的一般解为

因此，原方程组与下列方程组同解

方程组的一般解为：x1=200，x2=500-x4，x3=800-x8，x5=800-x4，x6=x4，x7=1000-x8，x9=400，x10=600，x4，x8是自由变量.

小结 通过以上例子可归纳出解线性方程组的高斯消元法的步骤：

1.将线性方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵；

2.把阶梯形矩阵首非零元所在列的未知数作为基本未知数，其余未知数作为自由未知数；

3.求阶梯形矩阵对应的线性方程组的解，把此方程组含有的自由未知数项移到方程的另一端，并用逐个方程回代的方法得到用自由未知数表达的基本未知数的代数式，这就是原方程组的一般解.