初等行变换概念

四、初等行变换概念

上一节虽然给出了求n阶可逆矩阵的逆矩阵方法，但这需要计算n个n阶行列式和n2个n-1阶行列式，当n很大时，其计算量之大可想而知，因此我们需要进一步探讨求逆矩阵的简便方法，那就是初等变换.

矩阵的初等行变换是指：

1.互换矩阵任意两行的位置；

2.用一个非零常数k遍乘矩阵的某一行；

3.将矩阵某一行遍乘非零常数k加到另一行对应元上的变换.

以上三种变换分别为互换变换、倍乘变换、倍加变换.

若把定义中对矩阵进行“行”变换改为对“列”的三种变换，则称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行、列变换统称为初等变换，下面我们主要运用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵.

由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.

由定义对应于初等行变换有如下三种初等方阵：

1.初等互换方阵：

Pij是由单位方阵E第i，j行互换而得到的.

2.初等倍乘方阵：

其中k≠0，Pi（k）是由单位方阵E的第i行乘以k而得到的.

3.初等倍加方阵：

Pi+j（k）是由单位方阵E的第j行乘以k加到第i行而得到的.

由初等方阵的定义可以看出，初等方阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是初等方阵：

初等方阵的重要性在于它与初等变换有着密切联系.

定理 A是m×n矩阵，用m阶初等方阵左乘A相当于对A作相应的初等行变换.

具体来说就是：

Pij A相当于变换A的第i、j两行；

Pi（k）A相当于用数k（≠0）乘A的第i行；

Pi+j（k）A相当于用数k（≠0）乘A的第j行加到第i行上.