非齐次线性方程组解的结构

三、非齐次线性方程组解的结构

对于非齐次线性方程组AX=B的解的情况，我们已经有如下结论：

1.AX=B有解的充要条件是：r（AB）=r（A）；

2.当r（AB）=r（A）=n时，AX=B有唯一解；

3.当r（AB）=r（A）=r＜n，AX=B有无穷多组解；

4.当r（AB）≠r（A），AX=B无解.

下面我们来探讨有无穷多组解的情形，首先学习AX=B的解的有关性质.

性质1 若X1，X2为AX=B的解，则X1-X2必为AX=0解.

性质2 若X0为AX=B的解，为AX=0的解，则必定为AX=B的解.

（证明比较简单，学生可自行练习）

由性质1、2可以得到如下结论：

定理4 设X0是非齐次线性方程组AX=B的一个解，则AX=B的任意一个解X可以表示成X0与相应齐次线性方程组AX=0的某个解之和：.

证明 把X表示为

令，由性质1可知为齐次线性方程组AX=0的解.

由于AX=0的解都能用k1 X1+k2 X2+…+kn-r Xn-r（k1，k2，…，kn-r为任意常数）表示，又据此定理有非齐次线性方程组AX=B的每一个解都可以表示成

其中X0是非齐次线性方程组AX=B的一个特解，由此我们得到了求非齐次线性方程组AX=B通解的步骤：

1.将增广矩阵（AB）化为阶梯形矩阵；

2.当r（AB）=r（A）=r＜n时，把不是首非零元所在列对应的n-r个变量作为自由未知量；

3.把所有自由未知量作为求到AX=B的一个特解X0；

4.求出相应的齐次线性方程组AX=0的通解；

5.写出非齐次线性方程组AX=B的通解.

阶梯形矩阵相应的齐次线性方程组为

令x2=1，x4=0，解得：x1=1，x3=0，所以X1=（1，1，0，0）T.

令x4=1，x2=0，解得：，所以.

所以原方程组的通解为：X=X0+k1 X1+k2 X2（k1，k2为任意常数）.