随机变量的分布函数
1.分布函数及其性质
设X是一个随机变量，对于任意实数x，令
称F（x）为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数.
对于任意两个实数x1，x2（x1＜x2），随机变量X取值区间（x1，x2]的概率为
分布函数性质：
（1）对于任意实数x，0≤F（x）≤1；
（2）
；
（3）F（x）是非单调增函数，即对于任意x1＜x2，有F（x1）≤F（x2）.
2.离散型随机变量的分布函数
已知离散型随机变量的分布列p{X=xi}=p（xi）=pi（i=1，2，…），则分布函数为
3.连续型随机变量的分布函数
已知连续型随机变量的密度函数f（x），则分布函数为
例2 有一批产品共40件，其中有3件次品.从中随机抽取5件，以X表示取到次品的件数，求X的分布列及分布函数.
解 随机变量X可能取到的值为0，1，2，3，按古典概率计算事件{X=k}k=0，1，2，3的概率，得X的概率分布为
或如表6-4所示.
表6-4
4.常见离散型随机变量的分布
（1）两点分布
若随机变量X只有两个可能的取值0和1，其概率分布如表6-5所示.
表6-5
或
则称X服从参数为p（p＞0）的两点分布（也称0-1分布）.
例4 假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，X表示他投篮一次命中的次数，求X的概率分布.
解 投篮一次只有“不中”和“命中”两个结果，命中次数X只可能取0、1两个值，且概率分别为
也可表示为如表6-6所示.
表6-6
（2）二项分布
设X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则X所有可能的取值为0，1，…，n，且相应的概率为
称X服从参数为n、p的二项分布，记作XB（n，p）.
例5 某厂需从外地购买12只集成电路.已知该型号集成电路的不合格率为0.1，问至少需要购买几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电路不少于12只？
解 设需要购买n只，X表示这n只集成电路中合格品个数，则XB（n，0.9），按题意，要求事件“X≥12”的概率不小于0.99，即
可算出至少需要购买17只集成电路，才能以99%的把握保证其中合格品不少于12只.
（3）泊松分布
若一个随机变量X的概率分布为
其中λ＞0为参数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记作Xp（λ）.
例6 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用λ=10的泊松分布来描述.为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底应存有多少件该种商品（假设只在月底进货）？
解 设该商店每月的销售量为X，据题意Xp（10）.设月底存货为a件，则当X≤a时就不会脱销.即求a使得
查泊松分布表可得
，于是这家商店只要在月底保证存货不少于15件就能以95%以上的把握保证下月该商品不会脱销.
在实际应用中，当n比较大，p较小，而np不太大时，可直接利用以下近似公式：
5.常见连续型随机变量的分布
（1）均匀分布
一个随机变量X，如果其密度函数为
则称X服从[a，b]上的均匀分布，记作XU（a，b）.
例7 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，可将车站上候车的乘客全部运走.设乘客在两趟车之间的任何时刻到站都是等可能的，求乘客候车时间不超过3分钟的概率和乘客平均候车时间.
解 设乘客到达汽车站的时刻为X，他到站前最后离去的公共汽车到站时刻为t0，将要来到的下一辆车的到站时刻为t0+5.据题意，X服从[t0，t0+5]上的均匀分布，其密度函数为
乘客候车时间不超过3分钟的概率，即X落在区间[t0+2，t0+5]内的概率
（2）指数分布
一个随机变量X，如果其密度函数为
其中λ＞0为参数，则称X服从参数为λ的指数分布，记作XExp（λ）.
例8 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：小时）服从指数分布Ex p（0.002），求：（1）该热水器在100小时内需要维修的概率是多少？（2）该热水器平均能正常使用多少小时？
该热水器平均能正常使用500小时.
（3）正态分布
一个连续型随机变量X，如果其密度函数为
其中μ、σ为常数，-∞＜μ＜+∞，σ＞0，则称X服从参数为μ和σ2的正态分布，记作XN（μ，σ2）.
特别地：
当μ=0，σ=1的正态分布称为标准正态分布，记作N（0，1）.
设Φ（x）=P（X＜x），利用P（x1＜X＜x2）=Φ（x2）-Φ（x1），通过查标准正态分布表计算.
一般正态分布可以通过线性变换
转化为标准正态分布，再利用标准正态分布表求相应的概率，即
正态随机变量X的取值位于均值μ附近的密集程度可用标准差σ为单位来度量，而且X的取值几乎全部落在区间（μ-3σ，μ+3σ）之内，所以有时称3σ为极限误差.