实验2 最小二乘拟合实验
一、实验目的
1.了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理；
2.学会观察给定数表的散点图，选择恰当的曲线拟合该数表.
二、实验原理
1.最小二乘法原理.
问题的提出：给定平面上的一组点
寻求一条曲线y=f（x），使它较好地近似这组数据，这就是曲线拟合.最小二乘法是进行曲线拟合的常用方法.
最小二乘拟合的原理是，求f（x）使达到最小.拟合时，选取适当的拟合函数形式
其中φ0（x），φ1（x），…，φm（x）称为拟合函数的基底函数.为使δ取到极小值，将f（x）的表达式代入，对变量ci求函数δ的偏导数，令其等于零，就得到由m+1个方程组成的方程组，从中可解出ci（i=0，1，2，…，m）.
2.多项式拟合原理.
假设给定数据点（xi，yi）（i=1，2，…，n），Φ为所有次数不超过n（n≤m）的多项式构成的函数类，现求一
，使得
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（10.1）的pn（x）称为最小二乘拟合多项式.特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合.
显然，
为a0，a1，…，an的多元函数，因此上述问题即为求I=I（a0，a1，…，an）的极值问题.由多元函数求极值的必要条件，得
公式（10.3）是关于a0，a1，…，an的线性方程组，为正规方程组或法方程组.
可以证明，公式（10.3）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解.从公式（10.3）中解出ak（k=1，2，…，n），从而可得多项式
可以证明，公式（10.4）中的pn（x）满足式（10.1），即pn（x）为所求的拟合多项式.我们把
称为最小二乘拟合多项式pn（x）的平方误差，记作
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：
（1）由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n.
（2）列表计算
和
.
（3）写出正规方程组，求出a0，a1，…，an.
（4）写出拟合多项式
.
在实际应用中，n≤m；当n=m时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式.
三、实验内容
例1 为研究某一化学反应过程中温度x（℃）对产品得率y（%）的影响，测得数据如表10-1所示：
表10-1 温度x（℃）与产品得率y（%）的关系
试求其拟合曲线.
解 画出数据的散点图，观察发现呈线性关系.
（1）用ployfit函数进行线性拟合，图像如图10-3所示.
图10-3 产品得率与温度的线性关系
>>x=100：10：180；
>>y=[45 51 54 61 66 70 74 78 85]；
>>p=polyfit（x，y，1）
运行结果：0.4833-2.7778
>>y1=polyval（p，x）；
>>plot（x，y，′ro′，x，y1，′b′）.
（2）结果解释：产品得率与温度的线性关系为y=0.4833x-2.7778.
例2 给定平面上点的坐标如表10-2所示.
表10-2 平面上点的坐标
试求其拟合曲线.
解 画出数据的散点图，观察发现呈指数关系y=a ebx，取对数化成线性关系ln y=ln a+bx.
图10-4 y与x与的指数关系曲线
（1）用regress函数进行线性回归，图像如图10-4所示.
>>x=0.1：0.1：0.9；
>>y=[5.5246 6.1322 6.6865 7.1917 7.7525 8.5740 9.261810.222011.0612]；
>>p=regress（log（y′），[ones（size（x））；x]′）
运行结果为：p=1.6326 0.8562.
>>x1=0.1：0.02：0.9；
>>y1=exp（p（1））*exp（p（2）*x1）；
>>plot（x，y，′r o′，x1，y1，′b′）.
（2）结果解释：y与x与的关系为y=1.6326e0.8562x.
四、练习与思考
测得铜导线在温度Ti（℃）时的电阻Ri（Ω）如表10-3所示，求电阻R与温度T的近似函数关系.
表10-3 铜导线的温度与电阻的关系
