一、总体与个体

在数理统计中，称所研究的对象全体为总体（或母体）.总体中的各元素称为个体.若总体中的个体数目有限，则称之为有限总体；否则称之为无限总体.

例1 有一批产品共1000个，每个产品可区分为一等、二等、次品.我们要研究这批产品的质量，1000个产品的等级构成一个总体，每个产品的等级是个体.

例2 为考察在某种工艺条件下织出的一批布匹的疵点数，共取5000匹布.那么，这5000匹布中每匹布疵点数的全体构成一个总体，每匹布的各自疵点数是个体.

例3 在检查某军工厂生产的一大批炮弹的质量时，若只考察炮弹的射程，那么，这批炮弹中每一颗的射程的全体构成一个总体，每颗炮弹的各自射程是个体.

从例2、例3可见，总体中的元素常常不是指元素本身，而是指元素的某种数量指标.在例2中，总体中的元素指每匹布的疵点数，在例3中，总体中的元素指每颗炮弹的射程.在例1中，如果一等品用“1”表示，二等品用“2”表示，次品用“0”表示，总体中元素是指每个产品的等级指标，同样，总体可看成数“1”“2”“0”的集合.从三个例子可以看出，数量指标取同一值的元素可以有几个，也就是每一个值可以重复.总体是一个可重复的（允许相同）数的集合.在例1的1000个产品中，值为“1”的有721个，值为“2”的有213个，值为“0”的有66个，因此“1”占.从数学角度说，总体是指所研究的数量指标可能取的各种不同数值的全体，而各种不同数值含有一定的比率.这样一来，若抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现的机会多，有的出现的机会少，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是恰当的.从这个意义看，总体就是一个分布.因此“从总体中抽样”与“从某分布中抽样”是同一个意思.

总体的数量指标用X表示.从总体中随意地取得的一个个体是随机变量，记为X.显然，随机变量X所有可能取得的数值就是X可能取得不同值的全体.X的概率分布与总体的分布有什么关系呢？以例1为例，随机变量X的概率分布列（表7-1）与X取不同值的比率相同，即X的概率分布与X的总体分布相同.这个结论具有普遍性.因此总体数量指标与相应的随机变量都用X表示，并不严加区分.总体分布指相应的随机变量X的概率分布，可用分布列、分布密度、分布函数具体表现出来.总体分布的数字特征指的是相应随机变量的数字特征.

表7-1

为方便起见，总体数量指标X有时简称为总体X，总体X的分布和数字特征采用概率论中随机变量的相应量的记号.

上面是从总体中得到随机变量.反之，从随机变量亦可得到总体.例如，扔一颗骰子出现的点数是随机变量，它可能取得的不同值的全体“1”“2”“3”“4”“5”“6”构成一个总体，它的分布是随机变量的概率分布.

在有些问题中，我们对每一个研究对象可能要观测两个甚至更多个指标，此时可用多维随机向量及其联合分布来描述总体，这种总体称为多维总体，譬如，我们要了解某校大学生的三个指标：年龄、身高、月生活支出，就可用一个三维随机向量描述该总体，这是一个三维总体，它是多元分析所研究的对象.