矩阵的秩的求法

二、矩阵的秩的求法

若矩阵满足：

1.首非零元（非零行的第一个不为零的元）的列标随着行标的递增而增大；

2.矩阵的零行位于矩阵的最下方（或无零行）.

则称此矩阵是阶梯形矩阵.

因为矩阵C不符合条件1，而矩阵D不符合条件2，所以C、D就不属于阶梯形矩阵.

观察上述矩阵A、B发现，矩阵A的秩正好是它的非零行的行数3，而矩阵B的秩正好是它的非零行的行数2，这一事实并非偶然，阶梯形矩阵有以下性质.

性质1 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数.

性质2 任意一个矩阵A，经若干次初等行变换可以化为阶梯形矩阵.

性质3 初等行变换不改变矩阵的秩.

性质4 n阶可逆矩阵的秩等于n，反之，若一个方阵A的秩为n，则A必可逆.

由此，我们得到了求矩阵秩的方法：

对矩阵进行初等行变换，使其化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵的非零行的行数就是该矩阵的秩.

例2 用初等行变换求下列矩阵的秩.