参数的区间估计
如前所述，点估计是用一个点（一个数）去估计未知参数.有时我们可能只对参数变动的范围感兴趣，这就是区间估计，即用一个区间去估计未知参数，即把未知参数值估计在某两个界限之间.例如，估计明年GDP增长在7%～8%之间，比说增长8%更容易让人们相信，因为给出7%～8%已把可能出现的误差考虑进去了.又如，火箭中某个部件的可靠度估计为0.95，由于可靠度对于火箭发射成功的重要性，仅有这样一个点估计是不够的，需要对于估计的随机性有更明确的描述.如果说“有98%的把握该部件的可靠度在0.93～0.97之间”就稳妥得多.因此，为了度量估计的精度，我们引入区间估计的方法.下面主要介绍正态分布总体的数学期望和方差的区间估计的问题.
1.置信区间的概念
通过分析一个例子来介绍区间估计的方法.
例4 设某建筑材料抗断强度X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ未知，σ2已知（σ=0.2），试对总体均值μ作区间估计.
解 在该总体中取一个样本x1，x2，…，xn，易知μ的点估计为
.现在我们要给出μ的一个区间估计，以此体现估计的误差.为此可取一个估计函数
它是
的标准化随机变量，具备下面两个特点：首先，u中包含所要估计的未知参数μ（σ已知）；其次，因为
，故u N（0，1），显然它与未知数无关.
设θ为总体的未知参数，
是由样本x1，x2，…，xn给出的两个统计量，若对给定的概率1-α（0＜α＜1），有
则随机区间
称为θ的置信度为1-α的置信区间，
分别称为置信上限和置信下限，α称为显著性水平，通常取值为0.01，0.05，0.10等.
置信区间的意义可以解释如下：如果进行m次随机抽样，每次得到的样本值记为（x1k，x2k，…，xnk），k=1，2，…，m；则得到m个随机区间
，k=1，2，…，m.这m个区间中，有的包含参数θ的真值，有的不包含.当
成立时，这些区间中，包含参数θ的真值的区间大约占100（1-α）%.
对应于已给的置信概率，根据样本观测值来确定未知参数θ的置信区间，被称为参数θ的区间估计.
2.单个正态总体参数的置信区间
正态总体N（μ，σ2）是最常见的分布，现在给出它的两个参数的置信区间.
（1）σ已知时，μ的置信区间
设XN（μ，σ2），其中σ2已知，μ未知，求μ的置信度为1-α的置信区间.由例4的讨论可知
例5 某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额，随机访问了100名旅游者，得知平均消费额
，根据经验，已知旅游者消费服从正态分布，且标准差为12元，求该地旅游者平均消费额μ的置信水平为95%的置信区间.
于是μ的置信水平为95%的置信区间为（77.6，82.4），即在已知σ=12的情形下，可以95%的置信水平认为每个旅游者的平均消费额在77.6元到82.4元之间.
（2）σ未知时，μ的置信区间
当σ未知时，可用统计量t.由于
，采用与上一小节完全类似的讨论，可以得到的μ置信度为1-α的置信区间为
例6 某工业公司的生产经理对一项计算机辅助程序很感兴趣，该程序可以用来培训公司的维修职员掌握机器维修的操作.他希望这种计算机辅助方法可以减少培训工人所需要的时间.为了评价这种培训方法，假定管理部门同意用这种新方法对15名职员进行培训，每个职员所需要的培训天数列于表7-13，假定培训时间总体服从正态分布，试对这种程序所需要的平均时间进行估计.（α=0.05）
表7-13 某工业公司15名职员的培训天数
所以，培训时间总体均值的置信水平为95%的置信区间是50.0957.65天.
（3）σ2的置信区间
设正态总体XN（μ，σ2），且μ，σ2为未知参数，对给定的置信度1-α，求总体方差σ2的置信区间.
设x1，x2，…，xn为来自总体X的样本，样本方差s2可作为σ2的点估计.而且可以根据样本值求出统计量χ2变量
显然，χ2变量中包含σ2，且它的分布又与σ2无关，因此可以用变量χ2构造σ2的置信区间.
由χ2分布的特点，对给定的置信度1-α，令
例7 某厂生产的钢管直径X-N（μ，σ2），现从该厂生产的钢管中抽取10个，测得其直径分别为（单位：mm）
求总体标准差σ的置信度为0.95的置信区间.
解 易得s2=0.03656，（n-1）s2=9×0.03656≈0.329，当1-α=0.95时，α=0.05，查表得
，代入置信区间公式得到σ2的置信度为0.95的置信度区间为
即[0.01729，0.12185]，所以σ的置信度为0.95的置信区间为[0.13149，0.34907].