多元函数的概念

一、多元函数的概念

1.二元函数的概念

在许多实际问题中，常常会遇到一个变量依赖于多个自变量的情形.

例1 矩形面积S与其长x、宽y有下列依赖关系：

其中，长x与宽y是独立取值的两个变量.在它们的变化范围内，当x、y取定值后，矩形面积S有唯一确定的值与之对应.

例2 物理的动能E与物体的质量m和运动速度v之间的关系为

上式中，对m、v的变化范围内的每一组值，变量E有唯一确定的值与之对应.

从上面两个例子中找出它们的共性，去掉变量的具体意义，参照一元函数，可给出二元函数的定义.

设D是xOy平面上的一个点集，对任意的点（x，y）∈D，变量z按照某一对应关系f总有唯一确定的数值与之对应，则称z为x、y在D上的二元函数，记作

其中x、y称为自变量，z称为因变量.点集D称为函数的定义域，数集

称为函数的值域.

当自变量x、y分别取x0、y0时，函数z的对应值为z0，记作或，称为函数z=f（x，y）当x=x0，y=y0时的函数值.

类似地，可以定义三元函数u=f（x，y，z）以及三元以上的函数.二元及二元以上的函数统称为多元函数.

如同用x轴上的点表示实数x一样，可以用xOy坐标平面上的点P（x，y）表示一对有序数组（x，y），于是二元函数z=f（x，y）可简记为z=f（P）.同一元函数一样，二元函数的定义域也是函数概念的一个重要组成部分.从实际问题中提出的函数，一般根据自变量所表示的实际意义确定函数的定义域，而对于由解析式给出的函数z=f（x，y），它的定义域就是能使函数表达式有意义的点（x，y）的全体，可以用不等式或不等式组表示.

例3 求函数z=ln（x+y）的定义域.

解 要使函数表达式有意义，必须有

故函数的定义域为

D={（x，y）|x+y＞0}，如图2-1所示.

例4 求函数的定义域，并计算f（0，1）和f（-1，1）.

解 要使函数表达式有意义，必须有

其几何表示是xOy平面上以原点为圆心，半径为3的圆内及其圆上点的全体（图2-2）.即函数的定义域为D={（x，y）|x2+y2≤9}.

因此，函数的定义域为D={（x，y）|1＜x2+y2＜2}，它的图形是圆环（图2-3）.

从上面的例子可以看到二元函数的定义域是xOy平面上的点集，记为D，如果点集D内的任意两点，都可以用含于D的一条直线连接，称点集D为区域.以点P0（x0，y0）为圆心，δ＞0为半径的区域称为点P0的δ邻域，记为U（P0，δ）（图2-4），即满足不等式的点的全体；在P0的δ邻域中去掉点P0，称为点P0的去心δ邻域，记为U0（P0，δ）.若点P的任一邻域U（P，δ）内，既有属于区域D的点，也有不属于D的点，则称P为D的边界点；区域D的边界点的集合，称为D的边界；D的边界点可以属于D，也可以不属于　D.若区域D不含有它的任何一个边界点，则称D为开区域（图2-1）；若D包含它的所有边界点，则称D为闭区域（图2-2）.

若区域D可以被包含在某个圆内，则称D是有界区域（图2-2、图2-3）；否则称为无界区域（图2-1）.

2.二元函数的几何意义

我们知道，一元函数y=f（x）的图形在xOy平面上一般表示一条曲线.对于二元函数z=f（x，y），设其定义域为D，P0（x0，y0）为函数定义域中的一点，与P0点对应的函数值记为z0=f（x0，y0），于是可在空间直角坐标系Oxyz中做出点M0（x0，y0，z0）.当点P（x，y）在定义域D内变动时，对应点M（x，y，z）的轨迹就是函数z=f（x，y）的几何图形.一般来说，它通常是一张曲面.这就是二元函数的几何意义，如图2-5所示.而定义域D正是这张曲面在Oxyz平面上的投影.